1、1高考中线性规划专题纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视.近三年全国卷是这样考1.(2015新课标全国卷理科 T15)若 x,y 满足约束条件 则 yx的最大值为 .041yx2.(2015新课标全国卷文科 T15)若 x,y 满足约束条件 则 z=3x+y 的最大210xy值为 .3.(2015新课标全国卷理科 T14)若 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值x-y+10,x-2y0,x+2y-20,为 .4.(2015新课
2、标全国卷文科 T4)若 x,y 满足约束条件5021yx则 z=2x+y 的最大值为 .5. (2014新课标全国卷高考文科数学T9) 设 x,y 满足约束条件 则103xyz=x+2y 的最大值为( )A.8 B.7 C.2 D.126. (2014新课标全国卷 高考理科数学T9) 设 x,y 满足约束条件 则 z=2x-70315xyy 的最大值为 ( )A.10 B.8 C.3 D.27.(2013新课标全国高考理科T9)已知 a0,x,y 满足约束条件若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a= ( )13xyaA. B. C.1D.2428.（2013新课标全国高考文科3）设 满足约束
3、条件,xy，则 的最小值是（ ）10,xy23zxyA. B. C. D.76539 （2013新课标高考文科14）设 x， y 满足约束条件，则 的最大值为_.013yxyxz210. （2013大纲版全国卷高考文科15）若 满足约束条件xy、则 .,34,xyzxy的 最 小 值 为11.（2013大纲版全国卷高考理科15）记不等式组 所0,34,xy表示的平面区域为 若直线 .D1yaxDa与 有 公 共 点 ， 则 的 取 值 范 围 是含参问题的探究3一、恒过“定点”问题例 1.（2009 福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组（ 为参数）所表示的平面区域的面积等于 2，则 的值0
4、1yaxa a为 （ ）A B. C. D. 5123解析：作出不等式组 所围成的平面区域。如图（1）所0yax示由题意可知，公共区域的面积为 2 4AC的坐标为 ，代入C)4,1(01yax得 ，故选 D . 3a图（1） 点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程 中含01yax有参数 这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确a可变形为 的形式，则此直线必过定点 ，此时，01yxaxy1 ),(可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解。4规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定” ，再结合题中的条
5、件进行全方面分析才能准确获得答案。二、恒成立问题例 2.（2008 浙江，17）若 ，且当 时，恒有0,ba10yx，则以 为坐标的点 所成的平面区域的面积是 1byaxb, ),(P（ ）A. B. C. 1 D. 242解析：作出满足条件 的点 的可行域，如图（2）所示.10yx),(yx，0,ba且恒有 ，1yx结合直线 ，与可行域可知: 1ba且ba且点 所成的平面区域如图（3）.),(P故所形成的平面区域的面积是 1.故选 C。5图（2） 图（3）点评：正确解答此题的关键是：“恒有 ”的巧妙运用，1byax因 中含有两个参数两个变量，故用“恒成立”的“数值解1byax法”比较困难，只
6、能用“图形控制”来解答；根据“恒有 ”1byax的“图形控制”先求 的约束条件，再画出其约束的平面区域，是ba,正确解答此题的突破口。规律总结：在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了。三、 “动” “静”结合问题例 3.（2006 广东.9）在约束条件 下，当 时，目标函420xys53s数 的最大值的变化范围是 （ yxz23）A.6，15 B.7,15 C.6,8 D.7,86解析：当 时，约束条件所表示的可行域就是 与 轴、54s 42xy轴在第一象限围成的三角形区域，y直线 过点 时， 取最大
7、值，yxz23)4,0(z8max当 时，直线 过 与 的交点时， 取得4syxz23sx42xyz最大，结合图形分析，此时，当 ， 的最大值中的最小值为 7.3z故答案为 D。图（4）点评：该题在作可行域时，由于直线方程 中含有参数“sxy” 且给定了该参数的取值范围，使问题变得复杂。解决此类问题s的主要思路是：先将能够画出图形的部分全部画出来，再分析“动直线”的运动趋势，确定好运动的“最大位置”及“最小位置” ，将“最大位置”及“最小位置”固定（静）下来，使“动”在“静”下做，借用运动的观念逐步分析，确定答案。规律总结：在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意
8、味着直线是“动直线” ，则应将该动直线运动的“最大” “最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不7同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解。四、转移模型问题例 4.（2006 重庆，16）已知变量 满足约束条件 ，若yx, 0132yx目标函数 （其中 ）仅在点 取得最大值，则 的取值yaxz0a)0,3(a范围为。解析：依据约束条件,作出可行域，如图（5）图（5）由可行域可知，要使目标函数 （其中 ）仅在点 取得yaxz0a)0,3(最大值，则必有直线 的斜率 直线 的斜率032yx1kyx2k又 ，21kak得： a21故答案为点评：此题的目标函数中含有参数 且 ，因此目标函数所
9、确a0定的直线 的斜率 0，直线 大致图象能确定下来，yax2kyx由线性规划的“平移”解法可知，欲使直线 平移过点 处)0,3(取得最大值，只需控制 的斜率 直线 的斜率yax2k2yx即可，问题就转化为研究“斜率”问题（模型）了。1k8规律总结：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率” 、 “点到直线的距离”等模型进行讨论研究。五、消元化归问题例 5.（2003 天津）已知 ， ， 且 ，10x2y23z1zyx求函数 的最大值。zyxF462解：由 得1yx于是 42)(yx同时 可变为23z1x则题设中的不等式即线性约束条件变形为：120xy满足上述约束条件的
10、区域如图（6）所示，其中 ， , ,)2,0(A)(B21C)0(D图（6）设 ，则xym2mxy是经过区域且斜率为 1 的直线在 轴上的截距y9易知当这些平行直线经过点 时，截距 为最小)1,(B0m当直线经过点 时，截距 取最大值)2,0(D284maxaxFinin点评：该题与常规型的线性规划相比：在约束条件及目标函数中均多了一个“参数 ”，但题中确给出了一个含“ ”的等式。因此，z z总可以用 线性表示 “ ”，分别消去约束条件及目标函数中的“,yx”，从而构造出了常规线性规划的问题。z规律总结：线性规划解决的是“约束条件” 、 “ 目标函数”中是二元的问题，若“约束条件” 、 “ 目标函数 ”中含有“三元”时，则应通过消元化归成“二元” 线性规划问题进行解答。
