1、- 0 -第 1 章 空间几何体 11 .1 柱、锥、台、球的结构特征1. 2 空间几何体的三视图和直观图11 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下22 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等33 直观图：斜二测画法44 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积
2、 2rlS4 圆台的表面积 2Rl5 球的表面积 24R（二）空间几何体的体积1 柱体的体积 hSV底2 锥体的体积 底313 台体的体积 hS)下下上上（4 球体的体积 34RV第二章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系- 1 -2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平 行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母 、 等表示，如平 面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个 顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。3
3、 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
4、平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
5、ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。D CBALACBAP L共面直线=ac2- 2 -2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直
6、线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。- 3 -2、定理：如果两个平面同时与
7、第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。Lp 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
8、2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理4）- 4 -第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角和斜率3.1 倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取
9、x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围： 0180.当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是k = tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x
10、2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式: 3.1.2 两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1 直线的点斜式方程1、 直线的点斜式方程：直线 经过点 ，且斜率为l),(0yxPk空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置
11、关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系- 5 -)(00xky2、 、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为ly),0(bb3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点 其中),(),(221yxP),(2121yx12xy2、直线的截距式方程：已知直线 与 轴的交点为 A ，与 轴的交点为 B ，其中l)0,(a),0(b0,ba3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B 不同时为 0）yx, 0Cyx2、各种直线方程之间的互化。3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点
12、坐标L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420xy得 x=-2，y=2所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）3.3.2 两点间距离两点间的距离公式 2212 1Pxy3.3.3 点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点 到直线 的距离为：),(0yx0:CByAxl 20BACyxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，1l21l1yx- 6 -： ，则 与 的距离为2l02CByAx1l2 21BACd第四章 圆与方程4.1.1 圆的标准方程1、圆的标准方程： 22()()xaybr圆心为 A(a,b),半径为 r
13、 的圆的方程2、点 与圆 的关系的判断方法：0(,)Mxy22()()（1） ，点在圆外20abr（2） = ，点在圆上20()()xy（3） ，点在圆内20r4.1.2 圆的一般方程1、圆的一般方程： 02FEyDxy2、圆的一般方程的特点：(1)x2 和 y2 的系数相同，不等于 0没有 xy 这样的二次项(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1 圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关
14、系设直线 ： ，圆 ： ，圆的半径为 ，圆心l0cbyaxC02FEyDxyx r到直线的距离为 ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：)2,(EDd（1）当 时，直线 与圆 相离；rdl（2）当 时，直线 与圆 相切；C（3）当 时，直线 与圆 相交；rl4.2.2 圆与圆的位置关系两圆的位置关系- 7 -设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：l（1）当 时，圆 与圆 相离；21rl1C2（2）当 时，圆 与圆 外切；l（3）当 时，圆 与圆 相交；|21r21rl12C（4）当 时，圆 与圆 内切；|lC（5）当 时，圆 与圆 内含；|21rl124.2.3
15、直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论4.3.1 空间直角坐标系O yxMMRP Q1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ， 、 、 分别是 P、Q、R 在 、 、 轴上的),(zyxyzxyz坐标2、有序实数组 ，对应着空间直角坐标系中的一点),(zyx3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫做点 M 在此空间直角),(zyx坐标系中的坐标，记 M ， 叫做点 M 的横坐标， 叫做点 M 的纵坐标， 叫做点 M 的竖),(zyx z坐标。4.3.2 空间两点间的距离公式1、空间中任意一点 到点 之间的距离公式),(11zyxP),(22zyxP- 8 -O yzxMP1 P2NM1 N2N1M2 H 21212121 )()()( zyxP
