1、高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。（一） 、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角 的棱上任取一点 O，分别在两l个半平面内作射线 ，则 为二面角 的平面角。lBOlA,AB(二)、二面角的通常求法1、由定义作出二面角的平面角；2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所
2、成的角就是二面角的平面角。4、空间坐标法求二面角的大小5、平移或延长（展）线（面）法6、射影公式 S 射影=S 斜面 cos7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例 1、 如图,已知二面角 - 等于 120,PA ,A,PB,B. 求APB 的大小.解: 设平面PAB =OA,平面 PAB=OB。PA, PA 同理 PB 平面 PAB又OA平面 PAB OA 同理 OB. AOB 是二面角 - 的平面角.在四边形 PAOB 中, AOB=120,. O ABOABlPO BAPAO= POB=90, 所以APB=602、三垂线定理
3、（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A 1B1C1D1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面C 1DE与面CDE所成二面角的正切值.解：在长方体 ABCDA1B1C1D1 中由三垂线定理可得： CDCE=1, DE= 53、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例 5、如图，已知 PA 与正方形 ABCD 所在平面垂直，且 ABPA，求
4、平面 PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。 解: PA平面 ABCD，PA CDP 又 CDAD，故 CD平面 PAD A D而 CD平面 PCD， B C 所以 平面 PCD平面 PAD 同理可证 平面 PAB平面 PAD因为 平面 PCD平面 PADPD，平面 PAB平面 PADPA，所以 PA、PD 与所求二A BCDA1 B1C1D1EOOE， 连 结， 作过 点 1 的 平 面 角为 二 面 角OC11的 正 方 形是 边 长 为又 2ABDCODESCERtCDE21中 ，在 1又 5tan152tanrg1O面角的棱均垂直，即APD 为所求二面角的平面角，且 APD 455
5、、平移或延长（展）线（面）法将图形中有关线段或平面进行平移或延长（展） ，以其得到二面角的两个平面的交线。例 3、正三角形 ABC 的边长为 10，A平面 ，B、C 在平面 的同侧，且与 的距离分别是 4 和 2，求平面 ABC 与 所成的角的正弦值。解：设 E、F 分别为 B、C 的射影，连 EF 并延长交 BC 延长线于 D，连 AD；AEE、F 是 B、C 射影 BE 丄 ；CF 丄 BECF 又 CF：BE= ， B 21C 是 BD 的中点 BC=DC， CABC 是正三角形B=BCA=BAC=60， 又ACB+ACD=180 ， E F DACD=120 又 AC=DC ， ACA
6、D= CDA=30，又BAD=BAC+CAD ，BAD=90，BA 丄 AD ，又AE 是 AB 在平面 上的射影，AE AD 又 BAAD ，平面 ABC平面 =A，BAE 是平面 ABC 与 所成的角，BE平面 ， BEAE ， ABC 是 Rt SinBAE=BE：AB= ，即平面 ABC 与 所成角的正弦值为 。52 526、射影公式由公式 S 射影 =S 斜面 cos，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得。例 4、如图，设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 BMD 与底
7、面ABCD 所成的二面角的大小。 解：D 1D面 ABCD，C 1C面 ABCD， BMD1 在底面上的射影为BDC，设正方体的棱长 a，则 SBCD= a ，BD 1= a23所以MH= a，S BMD1= a246由 SBDC=SBMD1cos 得 =arccos 37、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角例 6、在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，点 E、F 分别在 BB1、DD 1 上，且AEA 1B，AFA 1D(1) 求证:A 1C平面 AEF；若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角)，则在空间中有定理：“若两条直线分别垂直于两个平面，则
8、这两条直线所成的角与这两个平面所成角的大小相等 ”（2） 、试根据上述定理，在 AB4，AD3，AA 15 时，求平面 AEF 与平面D1B1BD 所成角的大小的余弦值解：(1)A 1BBC 即 A1B 是 A1C 的射影 又A 1BAE A 1CAE 同理 A 1CAF A 1C平面 AEF (2) 的解法如下： 过 C 作 BD 的垂线交 AB 于 G 又 D1DCG，故 CG平面 BB1D1D而 A1C平面 AEF(1)已证)，设 CG 与 A1C 所成的角为 ，则 即为平面AH MD1 C1B1A1BCDA BCDA1 B1C1D1F EGBB1D1D 与平面 AEF 所成的角SinB
9、CG SinABD ， ，CosBCG ，GC53541BG= ，AG=497A1G =A1A +AG = ，A 1C =AB +AD +AA1 =5022622在A 1CG 中，由余弦定理得 CosA 1CG= 52求二面角的大小还有很多的方法，这里只是列举了几个常用的方法，希望同学们能在解题的时候加以总结，争取在高考中旗开得胜！如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题
10、的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题对于空间向量 、 ，有 cos ，aba= 利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题b|a例 1 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD求面VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，依题意得 = (0，1，0)，是面 VAD 的法向量，AB 设 = (1，y，z)是面 VDB 的法向量，则n= (1，1， )。0,.VB ,3zn3cos ， = ，A n|B 27又由题意知，面
11、 VAD 与面 VDB 所成的二面角为锐角，所以其余弦值是 217A BCVDxyz例 2 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB = ，AC=1，CB= ，902侧棱 AA1=1，侧面 AA1B1B 的两条对角线交点为 D，B 1C1的中点为 M求证 CD平面 BDM；求面 B1BD 与面 CBD 所成二面角的余弦值解：略如图，以 C 为原点建立坐标系.设 BD 中点为 G，连结 B G，则依 G( ， ， )， = (13241BD ， ， )， = ( ， ， )，211BG 2431 = 0，BDB GD 1 1又 CDBD， 与 的夹角 等于所求二面角的平面C 角 cos =
12、= 1|BDG 3例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 F求二面角 CPBD 的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设aC设点 F 的坐标为 ， = ，则00()xyz， ， PA B 00()xyza， ， ， ，从而 所以 =00(1)yza， ， E 00(,)(,)222ax由条件 EFPB 知， = 0，即PE B ，解得 )1()1(222 aa31点 F 的坐标为 ，且 ， ，3， ， ()6a ， ， 2()3aFD ， ，B B1CA1CADM
13、yxzGB B1CA1CADMzPF EDA BC yxG ，即 ，故 是二面角 CPBD 的平面角PB FD 2203aFDPBE = ，且 ，E 229186a226|93aa ，224| 3aFD ， 216cos|3aPEFD 3EFD所以，二面角 CPBD 的大小为 例 4 已知三棱柱 A B 中，平面 平面 ， = ， =O11OABO90B1，且 = = 2， = ，求二面角 AB60B13的余弦值O解：以 为原点，分别以 ， 所在的直线为 x，y轴，过 点且与平面 垂直的直线为 z 轴，建立空间直AO角坐标系如图，则 (0，0，0)， (0，1， )，A(3，0，0)， ( ，1， )，B(0，2，0)33 = ( ，1， )， = ( ，2，0) 1AO AB3显然 为平面 的法向量，取 = (0，0，1)， Z1n设平面 的法向量为 = (x，y，z)，则 B12n = 0， = 02n 1AO2 B即 ，令 y = ，x = 2，z = 1，则 = (2， ，1)3yxz32n3cos ， = = = ，1n2|21n4x yzABB1A 11O故二面角 AB 的余弦值是1O42
