1、目 录前言 2第一章 高中数学解题基本方法 3一、 配方法 3 二、 换元法 7三、 待定系数法 14四、 定义法 19五、 数学归纳法 23六、 参数法 28七、 反证法 32八、 消去法 九、 分析与综合法 十、 特殊与一般法 十一、 类比与归纳法 十二、 观察与实验法 第二章 高中数学常用的数学思想 35一、 数形结合思想 35二、 分类讨论思想 41三、 函数与方程思想 47四、 转化（化归）思想 54第三章 高考热点问题和解题策略 59一、 应用问题 59二、 探索性问题 65三、 选择题解答策略 71四、 填空题解答策略 77附录 一、 高考数学试卷分析 二、 两套高考模拟试卷 三
2、、 参考答案 22前 言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳
3、法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与
4、可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个
5、热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中 高建彪0760-2298253第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法33配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项
6、”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公22式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；222a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) （ b） ；232a b c abbcca (ab) (bc) (ca) 22122a b c (abc) 2(abbcca)
7、(abc) 2(abbcca)2结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。2x1x、再现性题组：1. 在正项等比数列a 中，a a +2a a +a a =25，则 a a _。n153537352. 方程 x y 4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。2A. 1 C. kR D. k 或 k1144 43. 已知 sin cos 1，则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。122A. （, B. ,+)
8、C. ( , D. ,3)5454254545. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 、x ，则点 P(x ,x )在圆 x +y =4 上，则1122实数 a_。【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a a a ，将已知等式左边后配方mpm（a a ） 易求。答案是：5。 322 小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解 r 0 即可，选 B。 2223 小题：已知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出2sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选
9、D。5 小题：答案 3 。1、示范性题组：例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角线长为_。A. 2 B. C. 5 D. 6444【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式21424()xyz xyz2可得。【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24”而得： 。1424()xyz长方体所求对角线长为： ()()xyzxyz25612所以选 B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式
10、，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例 2. 设方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，若( ) +( ) 7 成立，求实数 k 的2 2qp2取值范围。【解】方程 x kx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,2( ) +( ) pqpq42()()2()(qpq2227， 解得 k 或 k 。k24810又 p、q 为方程 x kx2=0 的两实根， k 80 即 k2 或 k22 2综合起来，k 的取值范围是： k 或者 k 。10【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是
11、先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。例 3. 设非零复数 a、b 满足 a abb =0，求( ) ( ) 。22ab198b198【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （ 为 1 的立方虚根）；或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。2【解】由 a abb =0 变形得：( ) ( )10 ，2a
12、b255设 ，则 10，可知 为 1 的立方虚根，所以：ab2 ， 1。13又由 a abb =0 变形得：(ab) ab ，222所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 198ba198ab929ab9992 。9【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用 的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由 a abb 0 变形得：( ) ( )10 ，解出 后，22ab2 a132i化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后，完成后面的运算。此方法用99于只是未 联想到 时进行解题。132i
13、假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a abb 0 解出：22a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫i佛定理完成最后的计算。、巩固性题组：1. 函数 y(xa) (xb) （a、b 为常数）的最小值为_。22A. 8 B. C. D.最小值不存在()22. 、 是方程 x 2axa60 的两实根，则(-1) +(-1) 的最小值是2 22_。A. B. 8 C. 18 D.不存在493. 已知 x、yR ，且满足 x3y10，则函数 t2 8 有_。 xyA.最大值 2 B.最大值 C.最小值 2 B.最小值224. 椭圆 x 2ax3y a 60
14、的一个焦点在直线 xy40 上，则 a_。2A. 2 B. 6 C. 2 或6 D. 2 或 65. 化简：2 的结果是_。18sincosA. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设 F 和 F 为双曲线 y 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F PF 90，2x24 12则F PF 的面积是_。17. 若 x1，则 f(x)x 2x 的最小值为_。2668. 已知 0； 是否存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlog tlog s，ylog tlog sm(log tlog s),sts4t
15、4s2t2 将 y 表示为 x 的函数 yf(x)，并求出 f(x)的定义域； 若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。77二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高
16、次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 2 20，先变形为设 2 t（t0），而变为熟悉x x的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 y 的值域时，易发现 x0,1，设1xsin ， 0, ，问题变成了熟悉的求三角函数值域
17、。为什么会想到如此设，其22中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x y r （r0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。22均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 x t，y t 等等。S2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 。2、再现性题组：1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x 1)log (4x ) （a1），则 f(x)的值域是_。2a43.已知数列a 中，a
18、1，a a a a ，则数列通项 a _。nn1n1n4.设实数 x、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_。25.方程 3 的解是_ 。16.不等式 log (2 1) log (2 2)2 的解集是_。2x2x188【简解】1 小题：设 sinx+cosxt , ，则 y t ，对称轴221t1，当 t ，y ；2max12 小题：设 x 1t (t1)，则 f(t)log -(t-1) 4，所以值域为(,log 4；a2 a3 小题：已知变形为 1,设 b ，则 b 1,b 1(n1)(-1)1ann11nn，所以 a ；4 小题：设 xyk，则 x 2kx10, 4k 40
19、,所以 k1 或 k1；225 小题：设 3 y，则 3y 2y10,解得 y ，所以 x1；36 小题：设 log (2 1)y，则 y(y1)2，解得2y1，所以 x(log ,log 3)。2x 2542、示范性题组：例 1. 实数 x、y 满足 4x 5xy4y 5 （ 式） ，设 Sx y ，求 22 21Smax的值。（ 93 年全国高中数学联赛题）1Smin【分析】 由 Sx y 联想到 cos sin 1,于是进行三角换元，设222代入式求 S 和 S 的值。xycosi main【解】设 代入 式得： 4S5Ssincos5 xycsin解得 S ；10852s -1sin2
20、1 385sin213 10385sin103 Smaxin310685此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2 的有界性而求，即解不等10S式：| |1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。899【另解】 由 Sx y ，设 x t，y t，t ， ， 22S2S2则 xy 代入式得：4S5 =5， t4 t4移项平方整理得 100t +39S 160S1000 。2 39S 160S1000 解得： S2 13 1Smaxin30685【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 Sx y 与三角2公式 cos sin 1 的联系而联想和发现用三角换元，
21、将代数问题转化为三角函数值22域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式 Sx y 而按照均值换元的思路，2设 x t、 y t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 x、y 时，可以设xab，yab，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设xab，yab，代入式整理得 3a 13b 5 ，求得 a 0, ，所以 S(ab)2253 (ab) 2(a b ) a , ，再求 的值。2221031031Smaxin例 2 ABC 的三个内角 A、B、C 满
22、足：AC2B， ，求cosAC2cosBcos 的值。（96 年全国理）AC【分析】 由已知“AC2B”和“三角形内角和等于 180”的性质，可得 ；由“AC 120”进行均值换元，则设 ，再代入可求B1206 60cos 即 cos 。A【解】由ABC 中已知 AC2B，可得 ,ACB12061010由 AC120，设 ，代入已知等式得：A 60 1cos1cos()1cos()123cosin 2 ,123csinsin143224解得：cos ， 即： cos 。AC【另解】由 AC2B，得 AC120，B60。所以 1cosAC2cosB2 ，设 m， m ，1cos21cos2所以
23、cosA ，cosC ，两式分别相加、相减得：cosAcosC2cos cos cos ，AC2AC22cosAcosC2sin sin sin ，32m即：sin ， ，代入 sin cos 1 整理32m()2A2C得：3m 16m120,解出 m 6，代入 cos 。4 C2【注】 本题两种解法由“AC120”、“ 2 ”分别进行均值1cosA换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由AC2B，得 AC120，B60。所以 2 ，即csCcosBcosAcosC2 cosAcosC，和积互化得：2cos cos cos(A+C)cos(A-C)，即 cos cos(A-C)2A (2cos 1)，整理得：4 cos 2cos 3 0,22 22解得：cos ACy, , x2
