1、 1曲线和方程 (二)教学目标：（一）知识要求：根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤.(二) 能力训练要求:1 会由已知条件求一些简单的平面曲线的方程.2 会判断曲线和方程的关系.（三）德育渗透目的:培养学生的数学修养，提高学生的分析问题、解决问题的能力.教学重点求曲线方程的“五步”思路.教学难点依据题目特点，建立恰当的坐标系，考察曲线的点与方程的坐标的对应关系的纯粹性与完备性.教学方法：导学法.启发引导学生利用曲线的方程、方程的曲线理论，借助坐标系，用坐标表示点，把曲线视为点的集合或轨迹，用点(x,y)翻译约束条件，用方程 f(x,y)=0 表示曲线.教学过程知识回顾：方程的曲线和曲线的方程
2、: 曲线上的点的坐标都是方程的解以方程的解为坐标的点都在曲线上;就说这条曲线是这个方程的曲线,这个方程是这条曲线的方程.情境设置：由曲线的方程、方程的直线可知，借助直角坐标，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上的点的坐标(x,y)所满足的方程 f(x,y)=0 表示曲线，那么我们就可通过研究方程的性质，间接地研究曲线的性质.我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在教学中，用坐标法研究几何图形的知识已形成了一门学科，它就是解析几何.解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.它主要研究的是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研
3、究平面曲线的性质.（二）讲授新课：1.例题分析:【例 1】设 A、B 两点的坐标分别为(-1,-1) 、(3,7)求线段 AB 的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程？法一、运用现成的结论直线方程的知识来求.法二:若没有现成的结论怎么办?需要掌握一般性的方法解：设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上任意一点，即点 M 属于集合 P=M|MA|=|MB|，由两点之间的距离公式，点 M 所适合的条件可表示为 yB(3,7)2222 )7()3()1()( yxyx化简整理得 M07证明方程是线段 AB 的垂直平分线的方程. (1)求方程的过程可知，垂直平分线上每一 点的坐标都是方程的解. A(
4、-1,-1) 0 x(2)设点 M1 的坐标 (x1,y1)是方程的解， 即 x1+2y1-7=0,得 x1=-2y1+72点 M 到 A、B 的距离分别是 21221211 )()8()()(| yyxAM)136(521y2211 74)7()3(| yx 365.|即 点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上.由（1） （2）可知方程是 AB 的垂直平分线.反思：第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但这种方法有一般性.求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系
5、,设曲线上任一点 M 的坐标 ;(,)xy2.写出适合条件 P 的几何点集: ;P3.用坐标表示条件 ,列出方程 ;()(,)0fxy4.化简方程 为最简形式;,0fxy5.证明(查漏除杂).例 2 已知一条直线 和它上方的一个点 F,点 F 到 的距离是 2.一条曲线也在 的上方,它上面的每一点到l l lF 的距离减去到 的距离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程. lBF. M 变式：一个动点 P 与定点 A,B 的距离的平方和为 122， =10，求动点 P 的轨迹方程AB练习 1.已知点 M 与 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等,求点 M 的轨迹方程.x解:
6、设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系设点的坐标点 M 与 轴的距离为 , y限(找几何条件)22(4)Fx3 = 代(把条件坐标化)y22(4)xy 816 化简2xy所求的轨迹方程是 2xy课后作业：1、求到直线 4x+3y-5=0 的距离为 1 的点的轨迹方程.答案:4x+3y-10=0 或 4x-3y=0.2 、如图,已知点 C 的坐标是 (2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程.xy0CBA课后反思：由例 1,例 2 归纳总结求曲线方程的步骤
7、.一般地,求曲线方程的步骤是:(1)建立恰当条件的坐标系,用 M(x,y)表示曲线上任意一点(2)写出适当条件的点的集合 P=M|P(M)(即找几何特性满足的关系式)(3)用坐标表示条件 P(M),列出方程 f(x,y)=0.(即将几何关系式转化为代数方程)(4)化简方程 f(x,y)=0.(5)证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.评注:(1)化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写.(2)根据情况,也可省略步骤(2),直接列出曲线方程.曲线和方程 (三)教学目标：(一) 教学知识点：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.2.求曲线的交点.43.曲线的交点与方程组解的关系.(二
8、)能力训练要求:1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质.(三) 德育渗透目的:1.渗透数形结合思想.2.培养学生的辨证思维.教学重点1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式 f(x,y)=0.2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.教学难点1. 寻找“几何关系”.2. 转化为“动点坐标”关系.教学方法启发诱导式教学法.启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.教学过程讲授新课:1. 回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性
9、即可.2. 例题分析:一、直接法：回顾前一节科内容练习 1.如图，在平面直角坐标系中，已知动点 P(x，y)，PMy 轴，垂足为 M，点 N 与点 P 关于 x 轴对称且 4，则动点 P 的轨迹方程为 _ 1_OP M N x24 y22二、代入法（相关点法）：若动点 P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且 x0、y0 可用x、y 表示，则将 Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P 的轨迹方程这种方法称为相关点法(或代入法)例题 1已知ABC，A( 2,0)，B(0，2) ，第三个顶点 C 在曲线 上移动，求ABC 的重心132xy的轨迹方程 解析： 设ABC 的
10、重心为 G(x，y)，顶点 C 的坐标为( x1，y1)，由重心坐标公式得Error!，5Error!，代入 y13x 1，得 3y23(3x2) 21.21y9x 212x3 即为所求轨迹方程题后感悟 (1) 代入法：像本例将所求点 M 的坐标代入已知曲线方程求得动点 M 的轨迹方程的方法叫代入法(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为设点： 设所求 轨迹上任意点 M(x，y)，设动点(已知轨迹的动点)P(x 0，y0)求关系式：求出两个动点的关系式Error!代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求 动 点的轨迹方程练习：已知 O 为直角坐标系原点， M 为圆 上的动点，试求 M
11、O 中点的轨迹方程。32yx三、参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等 )的影响，此时，可先建立 x、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数 )消去，即可得到 x、y 的关系式例题 2：过原点的直线与圆 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。0562yx解：设过原点的直线为 y=kx，弦 AB 的中点 M(x,y)把 y=kx 代入 x2+y2-6x+5=0 得： x2+(kx)2-6x+5=0 即: (1+k2)x2-6x+5=0消去 k 得：y2=3x-x2弦 AB
12、的中点 M 的轨迹方程为 y2=3x-x2。练习：答案: 四、.两曲线交点问题:例题 3、已知抛物线 及直线 ,当 m 为何值时,(1)有两个交点；(2)仅有一mxy2xyl2:个交点；(3)无交点.分析：抛物线 C 和直线 的交点个数与其方程构成的方程组的解的个数一一对应.l解:由 消去 得xy2y04m(1) 抛物线 C 和直线 有两个交点,则方程有两根,所以 , 故当l 042m.42216x22121k6xky221k3yx的 顶 点 的 轨 迹 方 程 是二 次 函 数 )(1)2()(2Rxxf 043y6时,抛物线 C 和直线 有两个交点.4ml(2) 同理, 时, 抛物线 C
13、和直线 仅有一个交点.(3) 当时,抛物线 C 和直线 无交点.:小结：1. 两条曲线交点的坐标应是两个曲线的方程的公共实数解.即两个曲线方程组成的方程组的实数解.2.两曲线交点个数与方程组的实数解一一对应.3、求曲线方程的几种方法课后作业. . ,),13(,22点 的 轨 迹 方 程求 上 运 动 时在当中 点为点上 任 一 点为定 点：、 已 知 曲 线练 习P CBAPCBAxyC的 轨 迹 方 程 。， 求， 且的 垂 心 为 ，上 的 一 个 点 ，为 直 线，中 ， 已 知： 在练 习 HDHAB 0D(,0)(-,1 ),(令 ),(1B.21,3yx.2,31yx.)1()(2P点 的 轨 迹 方 程 是所 求 又又211yx解:
