1、12012 届高三之求解圆锥曲线离心率取值及范围方法归纳（18）一、直接根据题意建立 不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m,ac例 1：若双曲线 （a0,b0）上横坐标为 的点到右焦点的距离大于它到左21xy32a准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2) B.(2,+ ) C.(1,5) D. (5,+ )解析 由题意可知 即 解得 故选 B. 2233(ecc1e2e练习 1 椭圆 的焦点为 ， ，两条准线与 轴的交点分别为210)xyab1F2x，若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）MN， 2F (02， (， )， 21)，解析 由题意得 故选 D. 2a
2、c2e二、借助平面几何关系建立 不等关系求解,例 2：设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存12F， 21xyb0a在 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）,PFA B C D.(0， 3(0， 2)， 31)，分析 通过题设条件可得 ，求离心率的取值范围需建立不等关系，如何建立？2Pc解析：线段 的中垂线过点 ， ，又点 P 在右准线上，1F2Fc2aPFc即 ，故选 D.2ac3c1e点评 建立不等关系是解决问题的难点，而借助平面几何知识相对来说比较简便.三、利用圆锥曲线相关性质建立 不等关系求解.,ac例 3：双曲线 （a0,b0）的两个焦点为 F1、F
3、2,若 P 为其上一点，且2-1xyb|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3) B. C.(3,+ ) D.,33,分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ 解析：|PF 1|=2|PF2|,|PF 1|PF2|=|PF2|= ，|PF 2| 即 acacac所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选 B.e点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于 ）则可建立不等关系使问题迎刃而解. ca练习 1 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,点 P
4、在双曲线的21,(0,)xybb12F右支上，且 ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为：( )12|4|PFA B C D 3532732|PF 1|=4PF2|,|PF 1|PF2|=3|PF2|= ，|PF 2| 即 aca3c53ac所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选 B.53e练习 2 已知 ， 分别为 的左、右焦点，P 为双曲线右支上1F221xyab(0,)ab任一点，若 的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）2P8A B C D(,3,3,)解析 ，欲使最小值为 ，21 222()4448FaaPFaa8a需右支上存在一点 P，使 ，而 即 所以 .2cc13e例
5、5：已知椭圆 右顶为 A,点 P 在椭圆上，O 为坐标原点，且 OP 垂21(0)xyab直于 PA，求椭圆的离心率 e 的取值范围。 解：设 P 点坐标为（ ）,则有0xy20201xya消去 得 若利用求根公式求 运算复杂，应注意到方程的20y232()abb 0x一个根为 a,由根与系数关系知 由 得2002bxxa21e例 6：椭圆 ： 的两焦点为 ，椭圆上存在点G21()xyab12(,)(,Fc使 . 求椭圆离心率 的取值范围；M12Fe解析 设 2212(,)0FMxy将 代入得 求得 .2ybxaab20xa1e点评： 中 ，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数2()xx
6、范围问题中经常使用，应给予重视.四、运用数形结合建立 不等关系求解,c例 7：已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直21(0,)xyab60线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）(1,22,)(2,)解析 欲使过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的6斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ， ，即 即 ba3ba23ca即 故选 C.24ca2e五、运用函数思想求解离心率3例 8：设 ，则双曲线 的离心率 e 的取值范围是1a221()xyaA B. C. D. )2,(5,)5,()5,2(解析
7、：由题意可知 21()ea12a ，故选 B.六、运用判别式建立不等关系求解离心率例 9：在椭圆 上有一点 M， 是椭圆的两个焦点，若21(0)xyab12,F，求椭圆的离心率.21MF解析: 由椭圆的定义，可得 又 ，所以21a21MFb是方程 的两根，由 ， 可得21,220xab2()40，即 所以 ，所以椭圆离心率的取值范围是2ab()cce,1)例 10：设双曲线 C： 相交于两个不同的点 A、B.求1:)(12 yxlya与 直 线双曲线 C 的离心率 e 的取值范围：解析 由 C 与 相交于两个不同的点，故知方程组l有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 1,2yxa（1a 2）
8、x 2+2a2x2a 2=0. 所以 解得40.8().021.a且双曲线的离心率211ae,且 62e且所以双曲线的离心率取值范围是 6(,2)(,)总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.巩固练习例 1. 设 ，则二次曲线 的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. （ ）4解：由 ，知 ，故所给的二次曲线是双曲线，由双曲线的离心率 e1，排除 A、B、C，故选 D。2. 已知双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线
9、的离心率为（）A. B. C. D. 解：抛物线 的准线是 ，即双曲线的右准线 ，则 ，解得 ，故选 D。3. 点 P（-3，1）在椭圆 的左准线上，过点 P 且方向为 a=（2，-5）的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. B. C. D. 解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为则 解得则 。故选 A。三、构造 a、c 的齐次式，解出 e5根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，沟通 a、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于 e 的一元方程，从而解得离心率 e。4. 已知 F1、F 2是双曲线 的两焦点，以线段 F1F2为边作正三角形 MF1F2，若边 MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D. 解：如图，设 MF1的中点为 P，则 P 的横坐标为 。由焦半径公式 ，即 ，得 ，解得 ，故选 D。5. 过双曲线 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于M、N 两点，以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 A，则双曲线的离心率等于_。（答案：2）6. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。（答案： ）
