1、1直线和圆的方程一、知识导学 1两点间的距离公式:不论 A(x1， y1)，B( x2， y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|= 212)()(yx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=| x2 1|或|AB|=| y2- 1|.2定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点 A(x1， y1)，B( 2， y2)，P( ，)之间数量关系的一个公式，其中 的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后 的值也就随之确定了.若以 A为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是 12yx.当 P点为 AB的中点时，=1，此时中点
2、坐标公式是 212yx.3直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率 k与倾斜角 之间的关系是 k=tan.4确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称 方程 说明 适用条件斜截式 bkxyk为直线的斜率b为直线的纵截距 倾斜角为 90的直线不能用此式点斜式 )(00( 0,yx) 为直线上的已知点， k为直线的斜率倾斜角为 90的直线不能用此式两点式 12y= 12x( 1,)，( 2,)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式 ax+ b=1 a为直线的横截距b为
3、直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 0CByABA， C， 分别为斜率、横截距和纵截距A、B 不全为零5两条直线的夹角。当两直线的斜率 1k, 2都存在且 1k 2 -1时，tan=221k，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线 l1 1bxky， l2 2bxky，有以下结论： l1 21k= 2，且 1 2 1 2 =
4、-1（2）对于直线 l1 011CyBxA， l2 02CyBxA，当 A1， 2，B1， 2都不为零时，有以下结论： l1 2 1= 2 1 1 2A1 2+B1 2 = 0 l1与 2相交 2 l1与 2重合 21A= B= 21C7点到直线的距离公式.（1）已知一点 P（ 0,yx）及一条直线 l： 0CByAx，则点 P到直线 l的距离d= 20|BA；（2）两平行直线 l1: 01Cyx， l2: 02ByAx之间的距离 d=2|C.8确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程： 22)()(rbyax，其中（ a
5、，b）是圆心坐标， r是圆的半径；（2）圆的一般方程： 0FED（ FED420） ，圆心坐标3为（- 2D，- E） ，半径为 r= 24FED.二、疑难知识导析 1直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线： 0CByAx；圆： 02FEyDxyx.02FEDyxCBA 消 元一元二次方程 acb42 判 别 式 相 离 相 切 相 交（2）方法二 直线: 0CByAx；圆： 2)()(ryx，圆心（ a，b）到直线的距离为d= 2|CBbAa 相 交相 切相 离rd2两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为 O1、O 2，半径分别为 r1， 2，|O 1O2|为圆心距，则两圆位置
6、关系如下：|O1O2|r1+ 2 两圆外离；|O1O2|= 1+ 2 两圆外切；| 1- 2|O1O2|r1+ 2 两圆相交；| O1O2 |=| 1- 2| 两圆内切；0| O1O2| 1- 2| 两圆内含.三、经典例题导讲 例 1直线 l经过 P（2,3）,且在 x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为: 1byax,又过 P(2,3), 132ba,求得 a=5直线方程为 x+y-5=0.错因：直线方程的截距式: 的条件是: 0 且 b0,本题忽略了 0ab这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为: 23k,直线方程为 y= 23
7、x综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0或 y= 23x .例 2已知动点 P到 y轴的距离的 3倍等于它到点 A(1,3)的距离的平方,求动点 P的轨迹方程.错解：设动点 P坐标为(x,y).由已知 3 ,)()1(22yx4化简 3 x=x2-2x+1+y2-6y+9 .当 x0 时得 x2-5x+y2-6y+10=0 . 当 x0 时得 x2+ x+y2-6y+10=0 . 错因：上述过程清楚点到 y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x- )2+(y-3)2 = 和 (x+ )2+(y-3)2 = - 52 21
8、4 12 34两个平方数之和不可能为负数,故方程的情况不会出现.正解： 接前面的过程,方程化为(x- )2+(y-3)2 = ,方程化为(x+ )2+(y-3)2 = - ,由52 214 12 34于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点 P的轨迹方程为: (x- )2+(y-3)2 = (x0)52 214例 3m 是什么数时，关于 x,y的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程 Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=C0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m 2=-3，当 m=1或
9、 m=-3时，x 2和 y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是 Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C0 且 0.FA正解：欲使方程 Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要 A=C0，得 2m2+m-1=m2-m+2，即 m2+2m-3=0，解得 m1=1，m 2=-3，(1)当 m=1时，方程为 2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2)当 m=-3时，方程为 14x2+14y2=1,即 x2+y2= ,原方程的图形表示圆.114例 4自点 A(-3，3)发出的光线 L射到 x轴上，被 x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4
10、x-4y+70 相切，求光线 L所在的直线方程.错解：设反射光线为 L,由于 L和 L关于 x轴对称，L 过点 A(-3，3)，点 A关于 x轴的对称点 A(-3，-3)，于是 L过 A(-3，-3).设 L的斜率为 k，则 L的方程为 y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2) 2+(y-2)21，圆心 O的坐标为(2，2)，半径 r1因 L和已知圆相切，则 O到 L的距离等于半径 r1即 k5k322整理得 12k2-25k+120解得 k 34 L的方程为 y+3 34(x+3)即 4x-3y+30 因 L和 L关于 x轴对称故 L的方程为 4x+3y
11、+30.错因：漏解正解：设反射光线为 L,由于 L和 L关于 x轴对称，L 过点 A(-3，3)，点 A关于 x轴的对称点 A(-3，-3)， 于是 L过 A(-3，-3).设 L的斜率为 k，则 L的方程为 y-(-3)kx-(-3) ，即 kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2) 2+(y-2)21，圆心 O的坐标为(2，2)，半径 r1因 L和已知圆相切，则 O到 L的距离等于半径 r15即1k51k322整理得 12k2-25k+120解得 k 34或 kL的方程为 y+3 (x+3);或 y+3 43(x+3)。即 4x-3y+30 或 3x-4y-30因 L和 L关于 x轴对称
12、故 L的方程为 4x+3y+30 或 3x+4y-30.例 5求过直线 42y和圆 01422yx的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是： 2 yxyx即： 0412yx（1）因为圆过原点，所以 041，即故所求圆的方程为： 272yxyx.（2） 将圆系方程化为标准式，有： 544522 x当其半径最小时，圆的面积最小，此时 2为所求.故满足条件的圆的方程是 54852yx.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。 （2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面
13、积最小.例 6 （06 年辽宁理科）已知点 A( 1,yx)，B( 2,)（ 21x0）是抛物线)0(2pxy上的两个动点，O 是坐标原点，向量 OBA,满足 BA.设圆 C的方程为 0)()(21212 yxyx（1）证明线段 AB是圆 C的直径；（2）当圆 C的圆心到直线 0的距离的最小值为 5时，求 p的值.6解：（1）证明 OBA ，（ OBA） 2（ BA）2，整理得： 0 21x y0设 M（ yx,）是以线段 AB为直径的圆上的任意一点，则 MBA0即 )(21 )(21y0整理得： 1xyx故线段 AB是圆 C的直径.（2）设圆 C的圆心为 C（ y,） ，则212yx 11p
14、x， )0(22px 2214y又 21x 0 ， 21x 21y 21y24p 21x0， 210 y4 2121212121 4)(4)( ypyypypx )(22所以圆心的轨迹方程为 22pxy设圆心 C到直线 0x的距离为，则7 pypyx 5|)(|52)(1|52| 22 当 y p时，有最小值 ，由题设得 2.四、典型习题导练 1直线 032yx截圆 42yx得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A. B. C. D.6 4 3 22.已知直线 x=a(a0)和圆(x-1) 2+y2=4相切 ，那么 a的值是( )A.5 B.4 C.3 D.23. 如果实数 x、y 满足等式(x-2)
15、 2+y2，则 xy的最大值为：.4.设正方形 ABCD（A、B、C、D 顺时针排列）的外接圆方程为 x2+y2-6x+a=0（a9） ，C、D点所在直线 l的斜率为 31.（1）求外接圆圆心 M点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率；（2）如果在 x轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点，以 x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线 l的方程；（3）如果 ABCD的外接圆半径为 2 5，在 x轴上方的 A、B 两点在一条以 x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线 l的方程.y=2x+bxyOAB 185.如图，已知圆 C：（x+4） 2+y2=4。圆 D的圆心 D在 y轴上且与圆 C外切。圆 D与 y轴交于 A、B 两点，点 P为(-3，0).（1）若点 D坐标为（0，3） ，求APB 的正切值；（2）当点 D在 y轴上运动时，求APB 的正切值的最大值；（3）在 x轴上是否存在定点 Q，当圆 D在 y轴上运动时，AQB 是定值？如果存在，求出点 Q坐标；如果不存在，说明理由.
