1、1高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 13C然后排首位共有 4最后排其它位置共有 A由分步计数原理得 13428练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元
2、素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 种不同的排法52480A乙甲 丁丙练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位5A共有种 不同的方法,由分步计数原理 ,节目的不同顺序共有 种46A56练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新
3、节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例 4. 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73/A(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法，则共有4种方法。4A思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 方法练习题:10 人身高各
4、不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 510C五.重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法练习题：1 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 C143要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素
5、内部也必须排列.元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为 种n22. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 87六.环排问题线排策略例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有4A（8-1）！种排法即 ！ 7HFD
6、CABEG练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有24A种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 种,则共有 种14A5A2154前 排 后 排练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5
7、 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有25C种方法，根据分步计数原理装球的方法共有4AA练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把,当作一个小集团与排队共有 种排法
8、，再排小集团内部共有 种排法，由分步计数原理共有2A2A种排法 .2A练习题：.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为 2542. 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 种25A十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有 种分法。69
9、C一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素作圆形排列共有 1mnA一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?3一班 二班 三班 四班 五班 六班 七班练习题：1 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 . 求这个方程组的自然数解的组数 10xyzw310十一.正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问
10、题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 ,只含有 1 个偶数的取法有 ,和为偶数的取法共有 。再淘汰和小于 10 的偶数共35C125C123C9 种，符合条件的取法共有 2359练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解: 分三步取书得 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步取 AB,第二步取 CD,第
11、三264C步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有264C种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法。3A2364/CA练习题：1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？（ ）542138/2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排
12、 2 名，则不同的安排方案种数为_ （ ）246/90CA十三. 合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有3C1534种，由分类计数原理共有 种。25 2223534C练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座 谈会，若这 4 人
13、中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 34 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. （27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略将 n 个相同的元素分成 m 份（n，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用 m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为 1C有
14、些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 ( 为均分的组数) 避免重复计数。n解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。4例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯
15、的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 种5C练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球, 25C3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号
16、盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 种 53 号盒 4 号盒 5 号盒 练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种 542十六. 分解与合成策略例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=235 7 1113，依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为： 1234555CC练习:正方体的 8
17、 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 ,每个四面体有 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连8成 对异面直线3517十七.化归策略例 17. 25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成 9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从 33 方队中选 3 人的方法有 种。再从 55 方132C阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55
18、方队中选取 3 行 3 列有 选法所以从 55 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人5C有 选法。3521C练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？( )375CBA十八.数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比 324105 大的数？解: 2971234AAN一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果分解与合成策略是
19、排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。 5练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 3140 十九.树图策略例 19 人相互传球
20、 ,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有_ 3 510N练习: 分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中 号人不坐 号椅（ ）的不同坐法有多少种？ii54321,4N二十.复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠
21、军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作 7 家“店” ，五项冠军看作 5 名“客” ，每个“客”有 7 种住宿法，由乘法原理得 7 种.5排列组合易错题正误解析1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机，所以
22、只有 2 种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取 2 台原装与 3 台组装计算机或是 3 台原装与 2 台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取 2 台，有 种方法；第二步是在组装计6C算机任意选取 3 台，有 种方法，据乘法原理共有 种方法.同理，完成第二类办法中有 种方法.据加法原理完成35C3526C 253全部的选取过程共有 种方法.2635026例 2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A） （B） （C） （D）3434
23、434误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选 A.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有 3 种选取方法，由乘法原理共有 种.43说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得 .这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得4后，其他人就不再有 4 种夺冠可能.2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是 8 个小球的全排列，所以共有 种方法.8A错因分析：误解
24、中没有考虑 3 个红色小球是完全相同的，5 个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8 个小球排好后对应着 8 个位置，题中的排法相当于在 8 个位置中选出 3 个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3 个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有： 排法. 563C3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，树图会收到意想不到的结果红 1 1 1 2 2 3黄 1 2 3 1 2 1兰 3 2 1 2 1 1取法 45C41545C3535C235一些
25、复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.6例 4 5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）（A）480 种 （B）240 种 （C ）120 种 （D）96 种误解：先从 5 本书中取 4 本分给 4 个人，有 种方法，剩下的 1 本书可以给任意一个人有 4 种分法，共有 种不同45A 4805A的分法，选 A.错因分析：设 5 本书为 、 、 、 、 ，四个人为甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表 1 和表 2： abcde表 1 是甲首先分得 、乙分得 、
26、丙分得 、丁分得 ，最后一本书 给甲的情况；表 2 是甲首先分得 、乙分得 、丙分得abcdeeb、丁分得 ，最后一本书 给甲的情况 .这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次.cd正解：首先把 5 本书转化成 4 本书，然后分给 4 个人.第一步：从 5 本书中任意取出 2 本捆绑成一本书，有 种方法；第二25C步：再把 4 本书分给 4 个学生，有 种方法.由乘法原理，共有 种方法，故选 B.A2C40A例 5 某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（ ）种.（A）5040 （B）1260 （ C）21
27、0 （D）630误解：第一个人先挑选 2 天，第二个人再挑选 2 天，剩下的 3 天给第三个人，这三个人再进行全排列.共有：，选 B.1603257C错因分析：这里是均匀分组问题.比如：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解： 种.630257AC4 遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例 6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（ ）（A）36 个 （B）48 个 （ C）66 个 （D）72 个误
28、解：如右图，最后一位只能是 1 或 3 有两种取法，又因为第 1 位不能是 0，在最后一位取定后只有 3 种取法，剩下 3 个数排中间两个位置有 种排法，共有 个.2A362A错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比 1000 大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有 个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有 72 个，选 D.35 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例 7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法共
29、有 种.（以数字作答）误解：先着色第一区域，有 4 种方法，剩下 3 种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有 种，由乘法原理共有： 种.1213AC4812错因分析：没有看清题设“有 4 种颜色可供选择” ，不一定需要 4 种颜色全部使用，用 3 种也可以完成任务.正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有 48 种着色方法；当仅使用三种颜色时：从 4 种颜色中选取 3 种有 种方法，先4C着色第一区域，有 3 种方法，剩下 2 种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第 2、4 区域，另一种颜色涂第 3、5 区域，有 2 种着色方法，由乘法原理有 种.综上共有： 种.4728例 8 已知
30、 是关于 的一元二次方程，其中 、 ，求解集不同的一元二次方程的个数.02baxxa,31b误解：从集合 中任意取两个元素作为 、 ，方程有 个，当 、 取同一个数时方程有 1 个，共有,31 4Aab个.124A错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情况，由于 同42ba和解、 同解，故要减去 2 个。 正解：由分析，共有 个解集不同的一元二次方程.241ba和 1236 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.132 54乙 丙 丁甲e表1乙 丙 丁a甲 dcb表20 1，37例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元
31、、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ）(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有 种.1023错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成 4 种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有种.597 题意的理解偏差出错例 10 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（
32、）种.（A） （B） （C ） （D）536 36A35468A误解：除了甲、乙、丙三人以外的 5 人先排，有 种排法，5 人排好后产生 6 个空档，插入甲、乙、丙三人有 种方法，36A这样共有 种排法，选 A.5错因分析：误解中没有理解“甲、乙、丙三人不能相邻”的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻”的情况.“甲、乙、丙三人不能相邻”是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻.正解：在 8 个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即，故选 B.368A8 解题策略的选择不当出错例 10 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行
33、社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ ）.（A）16 种 （B）18 种 （C ）37 种 （D）48 种误解：甲工厂先派一个班去，有 3 种选派方法，剩下的 2 个班均有 4 种选择，这样共有 种方案.483错因分析：显然这里有重复计算.如： 班先派去了甲工厂， 班选择时也去了甲工厂，这与 班先派去了甲工厂， 班选abba择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除.正解：用间接法.先计算 3 个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即： 种方案.37（二）典型例题讲解例 1 用 0 到 9 这
34、10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是0、2、4、6、8、 ，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上） 由此解法一与二如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是 1、3、5、7、9 和千位数是 2、4、6、8 两类，由此得解法三如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排
35、列，故有个；39A当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个） 2814A 没有重复数字的四位偶数有个29617504281439 A解法 2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排 2、4、6、8 中之一时，千位，百位，十3位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个)(283914A 没有重复数字的四位偶数有个2961754)(283143 解法 3：千位数上从 1、3、5、7、9 中任选一个，个位数上从 0、2、4、6、8 中任选一个，百
36、位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个2815A8干位上从 2、4、6、8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括 0 在内） ，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个14A 没有重复数字的四位偶数有个296814285解法 4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有 个310A其中四位奇数有 个)(283915 没有重复数字的四位偶数有 28393939410 5AA28546A281个9说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用典
37、型例题二例 2 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1） （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同6A 3A的排法，因此共有 种不同的排法43206（2） （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男
38、生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 种不同排法，对5于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有36A种不同的排法10365A（3）解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 种不同25A的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法6A14062解法 2：（间接法）3 个女生和 5 个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的8种排法和女生排在末位的 种排法
39、，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被713 713A扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有 种不同的排法62A 140262378解法 3：（元素分析法）从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有 种不同的排法，对于其36A中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法，5 14056（4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，
40、首末两715 13A15端任意排定一种情况后，其余 6 位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法因此共有6 6153种不同的排法306153715AA解法 2：3 个女生和 5 个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两8 623A9端不都是女生的排法种数因此共有 种不同的排法360238A说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件若以元素为主，需先满足特殊元素要求
41、再处理其它的元素间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用典型例题三例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子，从中选 4 个放入舞蹈节目，共5A有 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： 43200.46A5A46（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5 个歌唱节目放入。4所以歌
42、唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： 2880 种方法。45说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。5A46A典型例题四例 4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法 1：6 六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可6A分为：体育排在第一书有 种排法，如图中；
43、数学排在最后一节5有 种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数5A学排在最后一节，如图中，这种情况有 种排法，因此符合条件4的排法应是：（种） 504256分析与解法 2：根据要求，课程表安排可分为 4 种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种；42A（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种；41（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 4A这四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有：（种） 50414142 AA分析与解法 3：根据要求，课表安排还可分下述 4 种情况：（1）体
44、育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法；12（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有 4 种排法；（3）体育在最后一书，数学木在第一节有 4 种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有 1 种排法上述 21 种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为 （种） 4A50421A下面再提出一个问题，请予解答问题：有 6 个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法10请读者完成此题说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法典型例题五例 5 现有 辆公交车、 位司机和 位售票员，每辆车上需配 位
45、司机和 位售票员问车辆、司机、售331票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把 辆车看成排了顺序的三个空： ，然后把 名司机和 名售票员分别填入因此可认3为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题解：分两步完成第一步，把 名司机安排到 辆车中，有 种安排方法；第二步把 名售票员安排6A3到 辆车中，有 种安排方法故搭配方案共有363A种说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱典型例题六例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有 所
46、重点院校，每所院校有 个专业是你较为满意43的选择若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 学 校 专 业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业因此这是一个排列问题解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在 所学校中选出 所并加排列，共有43种不同的排法；第二步，从每所院校的 个专业中选出 个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此34A32总的排列数有 种综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：2
47、323A种518423说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要 “选而且排” （元素之间有顺序要求）的是排列， “选而不排” （元素之间无顺序要求）的是组合另外，较复杂的事件应分解开考虑典型例题七例 5 名同学排队照相7(1)若分成两排照，前排 人，后排 人，有多少种不同的排法？34(2)若排成两排照，前排 人，后排 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照， 人中有 名男生， 名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？3分析：(1)可分两步完成：第一步，从 人中选出 人排在前排，有 种排法；第二步，剩下的 人排在737A4后排，有 种排法，故一共有 种排法事实上排两排与排成一排一样，只不过把第 个位子4A437A 7看成第二排而已，排法总数都是 ，相当于 个人的全排列(2) 优先安排甲、乙(3)用“捆绑法” (4)用“插空法” 解：(1) 种507437(2)第一步安排甲，有 种排法；第二步安排乙，有 种排法；第三步余
