1、第七讲 矩阵的三角分解一、 Gauss 消元法的矩阵形式n 元线性方程组12n12a + =b Ax=bijT12nA=(a)x b设 ,设 A 的 k 阶顺序主子式为 ，若 ，可0ijnA=a k (0)1 =a以令(0)i1ac=并构造 Frobenius 矩阵21nn0cL=21-1n0cL=计算可得 (0)12n1(1)-0()n2aA=L(0)1A=L该初等变换不改变行列式，故 ，若 ，则 ，(0)1 =a2 (1)2a 0又可定义，并构造 Frobenius 矩阵(1)i2ac=3,4n232n1L=c1-1232nL=c(0)23n1()(2)-1 23n()aA=La(1)2A
2、=L依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到（r2,3, ,n- (0)1r-n(r-2)(r-)1n(r-1)nraA=a1）则 A 的 r 阶顺序主子式 ，若 ，则(0)1r-2()r2 =ar 0可定义 ，并构造 Frobenius 矩阵(-1)a 0-1i()rc rr+1nL=c -1rr+1nL=c- (0)1r+n(r-1)(r)-1 +n(r1+n)raA=La(r-1)A=L（r2,3, ,n-1）直到第（n1）步，得到则完成了消元的过程 (0)12n1(n-n-1aA=a而消元法能进行下去的条件是 （r1,2, ,n-1） 0二、 LU 分解与 LDU 分解 (0)12n-
3、)31A=L=LA容易求出为下三角矩阵2112n-n-12cL=令 为上三角矩阵，则(n-1)UA（L: lower U: upper L: left R: right）=L以上将 A 分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为 LU 分解或 LR 分解。 x=bALU两个三角方程回代即可Ly=bUxLU 分解不唯一，显然，令 D 为对角元素不为零的 n 阶对角阵，则 -1A=LUD可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求（1） L 为单位下三角矩阵 （2） U 为单位上三角矩阵（3） 将 A 分解为 LDU，其中 L、U 分别为单位下三角、单位上三角矩阵，D 为对角阵 Ddiag ，
4、而 （k=1,2,n）,12ndk-1d=。0 =1n 阶非奇异矩阵 A 有三角分解 LU 或 LDU 的充要条件是 A 的顺序主子式 （r=1,2， ,n）r n 个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中， 很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必(k-1)a要采取选主元的消元方法，这可以是列主元（在 ， ，(k-1)a+ k中选取模最大者作为新的 ） 、行主元（在 ， ，(k-1)na(k-1)a(-1)中选取模最大者作为新的 ）全主元（在所有 （kij）中选模最大者作为新的 ） 。之所以这样做，其理论基i,j(k-1)础在于对于任何可逆矩阵 A，存在置换矩阵 P
5、使得 PA 的所有顺序主子式全不为零。列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未知数前的系数 最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程，i1|a即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找中最大的一个，然后按照第一步的方法继续。i2|a()行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便。全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素。与以上两种方
6、法相比，其计算稳定性更好，精度更高，计算量增大。三、其他三角分解1. 定义 设 A 具有唯一的 LDU 分解（1） 若将 D、U 结合起来得 （ ） ，则称为 A 的A=LUDDoolittle 分解（2） 若将 L、D 结合起来得 （ ） ，则称为 A 的 Crout分解2. 算法（1） Crout 分解，设，12n1lL= 12n3nuU=由 乘出得AU i1l=a(第 列 )（ i=,23n） (A,L第 1列 ) ju第 行 （ ） U第 行 i21l=a-(第 列 )i=2,3n(AL第 2列 ) j2u（ 4） U第 行 一般地，对 A, 的第 k 列运算，有L k-1ikm=lau(n;i+1,2n) 对 A，U 的第 k 行运算，有 -1kjmm=u(al),2n;j+1,k2n)直至最后，得到的 恰可排成ijlu先算列后算行123nn123lu作业：p195 2、3
