1、123456（15 北京理科）已知函数 2()2sincosinxxf() 求 的最小正周期；()fx() 求 在区间 上的最小值()f0，解析：() 211cos2sincosinsin2xxxfx xi 2xi()4x的最小正周期为 ；()fx1T(2) ，当 时，30,44x 3,24xx7取得最小值为：()fx21（15 年福建理科）已知函数 f()x的图像是由函数 ()cosgx=的图像经如下变换得到：先将 ()gx图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 2p个单位长度.()求函数 f()x的解析式，并求其图像的对称轴方程；()已知关于 的
2、方程 f()gxm+=在 0,2)p内有两个不同的解 ,ab（1)求实数 m 的取值范围； （2)证明：2cos)1.5m-=-(试题解析：解法一：(1)将 ()cosgx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得到 y2cs的图像，再将 y2sx的图像向右平移 p个单位长度后得到o()xp=-的图像，故 f()in=，从而函数 f()2sinx=图像的对称轴方程为(kZ).2+(2)1) 21f()gsinco5(sincos)5xxx=+si()j（其中 2si,cs5jj=）8依题意， sin()=5mxj+在区间 0,2)p内有两个不同的解 ,ab当且仅当 |15m，
3、故 m的取值范围是 ,-.2)因为 ,ab是方程 5sin()=xj+在区间 0,2)p内有两个不同的解，所以 sin()=mj+， i()5bj.当 15时， 2(),2();pajapbj-=-+当 m-时, 3+=(),3();2bj j-所以222cos)cos()sin()1()1.5majbj- +-=-(解法二：(1)同解法一. (2)1) 同解法一.2) 因为 ,ab是方程 5sin()=mxj+在区间 0,2)p内有两个不同的解，所以 sin()=j+， i()5bj.当 1m5时， 2(),+();pajajpbj-=-即当 -时, 3+=(),3();2bjjj-即所以
4、cos)cos()ajj-(于是9cos)cs()()cos()s()sin()i()abjbjajbjajbj-=+-=+( 22 2()in()i()1()()1.55mjajj- -=-（15 年福建文科）已知函数 203sinco0s2xxfx（）求函数 fx的最小正周期；（）将函数 f的图象向右平移 6个单位长度，再向下平移 a（ 0）个单位长度后得到函数 gx的图象，且函数 gx的最大值为 2（）求函数 的解析式；（）证明：存在无穷多个互不相同的正整数 0x，使得 0gx【答案】 （） 2；（） （） 1sin8g；（）详见解析【解析】试题分析：（）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂
5、公式将 fx化为()10sin56fx，然后利用 2T求周期；（）由函数 f的解析式中给减 6，再将所得解析式整体减去 a得 gx的解析式为 10sin5gxa，当sinx取 1 的时， gx取最大值 105，列方程求得 3a，从而 x的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数 0x，使得 0gx，可解不等式 0g，只需解集的长度大于 1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数 0x10试题解析：（I）因为 2103sinco10s2xxfx5sis5x10in6所以函数 fx的最小正周期 2（II） （i）将 f的图象向右平移 6个单位长度后得到 10sin5yx的图象，再向下平移 a（ 0）个单位长度后得到 10sin5gxa的图象又已知函数 gx的最大值为 2，所以 2，解得 13所以 10sin8（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数 0x，使得 0gx，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 0x，使得 01sin8，即 04sin5由 4352知，存在 03，使得 04si5由正弦函数的性质可知，当 0,x时，均有 sinx因为 sinyx的周期为 2，所以当 00,k（ k）时，均有 4sin5x
