1、有理数混合运算的解题方法和技巧有理数混合运算的解题方法和技巧 mjj page-1一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序：从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键。例 1：计算：3502 2( )15从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。例 2：计算： 23.01从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行。例 3：计算： 387128743二、应用四个原则：1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统
2、一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算
3、出这几个加数的和。 即（先乘方、后乘除、再加减。 ）把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法。(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算。(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例 2 计算：-0.25 2( )4-(-1)101
4、(-2) 2(-3)212说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。三、掌握运算技巧（1） 、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。（2） 、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。（3） 、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。（4） 、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。（5） 、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。例 3 计算 2+4+6+2000（6） 、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。乘法分配律 a(b+c)=
5、ab+ac 在运算中可简化计算而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便。有理数混合运算的解题方法和技巧有理数混合运算的解题方法和技巧 mjj page-2例 3 计算：(1) -32 (-84)+2.52+( + )241625 1223 34 1112(2)( )( ) ( ) ( )32 1115 32 1315 32 1415四、理解转化的思想方法有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。 因此在运算时应把握“遇减化加遇除变乘，乘方化乘” ，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于我们抓住数学内在的本质问题。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个
6、转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式。若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了。例 4 计算： （1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9)(2) (-2 )1 (-4)12 14(3) 22+(2-5) 1-(-5)213五、会用三个概念的性质如果 a，b 互为相反数，那么 a+b=O，a=-b；如果 c，d 互为倒数，那么 cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a0)，那么 x=a 或-a。例： 已知 a、b 互
7、为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值等于 2，试求 x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值。 有理数的混合运算典型例题例 1 计算： 。分析：此算式以加、减分段, 应分为三段： , , 。这三段可以同时进行计算，先算乘方，再算乘除式中0.2 化为 参加计算较为方便。 解：原式 有理数混合运算的解题方法和技巧有理数混合运算的解题方法和技巧 mjj page-3说明：做有理数混合运算时，如果算式中不含有中括号、大括号，那么计算时一般用“加”、“减”号分段，使每段只含二、三级运算，这样各段可同时进行计算，有利于提高计算的速度和正确率。例 2 计算： 。分析：此题运算
8、顺序是：第一步计算 和 ；第二步做乘法；第三步做乘方运算；第四步做除法。解：原式 说明：由此例题可以看出，括号在确定运算顺序上的作用，所以计算题也需认真审题。例 3 计算： 分析：要求 、 、 的值，用笔算在短时间内是不可能的，必须另辟途径。观察题目发现， ， ，逆用乘法分配律，前三项可以凑成含有 0 的乘法运算，此题即可求出。解：原式 有理数混合运算的解题方法和技巧有理数混合运算的解题方法和技巧 mjj page-4说明：“0”乘以任何数等于 0。因为运用这一结论必能简化数的计算，所以运算中，能够凑成含“0”因数时，一般都凑成含有 0 的因数进行计算。当算式中的数字很大或很繁杂时，要注意使用
9、这种“凑 0 法”。例 4 计算 分析： 是 的倒数，应当先把它化成分数后再求倒数；右边两项含绝对值号，应当先计算出绝对值的算式的结果再求绝对值。解：原式 说明：对于有理数的混合运算，一定要按运算顺序进行运算，注意不要跳步，每一步的运算结果都应在算式中体现出来，此题(1)要注意区别小括号与绝对值的运算；(2)要熟练掌握乘方运算，注意(-0.1) 3，-0.2 2，(-2) 3，-3 2 在意义上的不同。例 5 计算： 。分析：含有括号的混合运算，一般按小、中、大括号的顺序进行运算，括号里面仍然是先进行第三级运算，再进行第二级运算，最后进行第一级运算。解：原式 例 6 计算 解法一：原式 有理数混合运算的解题方法和技巧有理数混合运算的解题方法和技巧 mjj page-5解法二：原式 说明：加减混合运算时，带分数可以化为假分数，也可把带分数的整数部分与分数部分分别加减，这是因为带分数是一个整数和一个分数的和。例如：
