1、 1 有理数知识点及经典题型正数和负数正数和负数的概念负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-83.0 表
2、示的意义0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。有理数1.有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2.有理数的分类按有理数的意义分类 按正、负来分正整数
3、正整数整数 0 正有理数负整数 正分数有理数 有理数 0 （0 不能忽视）正分数 负整数分数 负有理数负分数 负分数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数数轴数轴的概念2 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2.数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点
4、表示。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点 不是有理数）3.利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4.数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 时，-a0（负数的相反数是正数）当 a=0 时，-a=0， （0 的相
5、反数是 0）考试常考：已知 a,b 互为相反数，立马要想到 a+b=0.6.多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。练习 1. )213()514()5()2(绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0.可用字母表示为：如果 a0，那么|a|=a； 如果 a |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等
6、于本身的数是非负数。 ）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ）3.绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反
7、数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0）4.有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5.绝对值的化简当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数4 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值
8、为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。例 1.已知a=5,b=8,且a+b= -(a+b),试求 a+b 的值。练习 2.已知a=5,b=8,且ab= -ab,试求 a+b 的值。有理数的加减法1.有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2.有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的
9、目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ；符号相同的两个数先相加“同号结合法” ；分母相同的数先相加“同分母结合法” ；几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。3.加法性质一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数。即：当 b0 时，a+ba 当 b0，则 xy=_3213x 与 2 的差为 ，则x=_4近似数 1.50 精确到_，78950 用科学记数法表示为_5按规律写数 ， ， ， ，第 6 个数是_1481二、选择题1.下列说法正确的是（ ）A. 最小的有理数是 0；B. 最大的负整数是1
10、；C. 最小的自然数是 1；D. 最小的正数是 1.2.下列说法正确的是（ ）A. 两个有理数的和为零，则这两个有理数都为 0；B. 两个有理数的和一定大于其中任何一个加数；C. 两个有理数的和为正数，则这两个数中至少有一个加数是正数；D. 两个有理数的和为负数，则这两个数一定都是负数.3.下列说法正确的是（ ）A. 一个正数减去一个负数，结果是正数；B. 零减去一个数一定是负数；C. 一个负数减去一个负数，结果是负数；D. “23”读作“负 2 减负 3”4.下列说法正确的是（ ）A. 个有理数相乘，当因数是奇数个时，积为负；nB. 个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；C. 个有理数相
11、乘，当负因数有奇数个时，积为负；D. 个有理数相乘，当积为负时，负因数有奇数个.n5.下列说法正确的是（ ）A. 相反数是本身的数是 1 和 0；B. 倒数是本身的数是 1 和 0；C. 绝对值是 本身的数是 0 和正数；D. 平方等于 64 的数是 8.10 6、已知字母 、 表示有理数，如果 + =0，则下列说法正确的是（ ）ababA . 、 中一定有一个是负数 B. 、 都为 0 abC. 与 不可能相等 D. 与 的绝对值相等7、一个数的平方为 16，则这个数是（ ）A. 或 B. C. D. 或4488、绝对值大于 2 且小于 5 的所有整数的和是 （ ）A. 7 B. 7 C. 0 D. 510、 等于（ ）34A B. C. D.212646411、数轴上的点 A、B、C、D 分别表示数 a、b、c、d，已知 A 在 B 的右侧，C 在 B 的左侧，D 在 B、C 之间，则下列式子成立的是（ ）A、a-0.5，则 a 是正数 B、若 0 D、b-c三、计算1、 + 4.8 2、 5.2.35.8)02.()53、 4、 12765936123
