1、相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 1507483176312014-2015 相似三角形专题复习【知识点梳理】1相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。2相似三角形的判定：平行法 三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)两角对应相等(AA)直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL” ） 。相似三角形的基本图形3相似三角形的性质：对应角相等 对应边的比相等 对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比 对应的面积
2、之比等于相似比的平方。4相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。【例题精讲】考点一：平行线分线段成比例1、 （2012 广东肇庆）如图，已知直线 a b c，直线 m、 n 与 a、 b、 c 分别交于点 A、 C、 E、 B、 D、 F， AC 4， CE 6， BD 3，则 BF （ ）A 7 B 7.5 C 8 D 8.52、 （2013 乌鲁木齐）如图，ABGHCD，点 H 在 BC 上， AC 与 BD 交于点 G，AB=2 ，CD=3，则 GH 的长为 考点二：相似三角形的判定1、 （2013 南充）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD 3，BC 7， B60，
3、P 为 BC 边上一点（不与B，C 重合） ，过点 P 作APEB，PE 交 CD 于 E.(1)求证:APB PEC; (2)若 CE3,求 BP 的长.ABDCBPBEabcA BC DE Fm n相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 1507483176322、 （2014山东潍坊）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4E 是 BC 边上的一个动点，AE上EF,EF 交 CD 于点 F设 BE=x,FC=y，则点 E 从点 B 运动到点 C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（ ）考点三：相似三角形的性质1 （2013 青海西宁）如图 6，在等边ABC
4、中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且ADB +EDC=120 ，BD=3 ，CE=2，则ABC 的边长为（ ）A9 B12 C16 D182 （2013 四川雅安）如图，D 、E、F 分别为ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）AADE ABC B C DDF=EFAFS ABCAES 413 （2013 四川内江）如图，在ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，DF 过 EC 的中点 G 并与 BC的延长线交于点 F，BE 与 DF 交于点 O若ADE 的面积为 S，则四边形 BOGC 的面积= 考点四: 位似1、 （2013 南宁）如图，ABC 三
5、个定点坐标分别为 A（1，3） ，B （1，1） ，C（ 3，2） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1；（2）以原点 O 为位似中心，将 A1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到 A2B2C2，请在第三象限内画出A2B2C2，并求出 SA1B1C1：S A2B2C2 的值2、 （2013 玉林）如图，正方形 ABCD 的两边 BC，AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴、y 轴的正半轴上，正方形 ABCD与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC=3 ，若点 A的坐标为2AB CD EGFO相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 150748317633（
6、第 2 题）（1，2） ，则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是（ ）A B C D 6131223考点五: 相似三角形的应用知识点 1：物高与影长问题：1、为了测量路灯（OS）的高度,把一根长 1.5 米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的影子（BC）长为 1 米,然后拿竹竿向远离路灯方向走了 4 米（BB ）,再把竹竿竖立在地面上, 测得竹竿的影长 （B C）为 1.8 米,求路灯离地面的高度.2、如图，小明站在灯光下，投在地面上的身影 AB=1.125m，蹲下来，则身影 AC=0.5m，已知小明的身高AD=1.6m，蹲下时的高度等于站立高度的一半，求灯离地面的高度 PH
7、.知识点 2.三角形中截出矩形问题：1、 （2013 娄底）如图，在ABC 中，B=45 ，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上，E、F分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H（1）求证： ；（2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动） ，设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与 ABC 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t的函数关系式，并写出 t 的取值范围hSACB
8、 BO CA相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 150748317634CBPDAQ2、 （2013 孝感）锐角 中， ， ，两动点 分别在边 上滑动，且ABC 612ABCS MN， ABC，以 为边向下作正方形 ，设其边长为 ，正方形 与 公共部分的面MNB MPQNxPQ积为 (0)y（1） 中边 上高 ； D（2）当 时， 恰好落在边 上（如图 1） ；x（3）当 在 外部时（如图 2） ，PQ求 关于 的函数关系式y知识点 3:动态中的相似问题：1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2 厘米/秒的速度移动；点Q 沿
9、 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1 厘米/秒的速度移动。如果、同时出发，用 t 秒表示移动的时间（0 t 6） ，那么：（1）当 t 为何值时，三角形 QAP 为等腰三角形？（2）求四边形 QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似？A ABBCCM M NNP P QQDD（第 2 题图1）（第 2 题图2）相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 1507483176352、如图，有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点 B、C、Q、R 在同一条直线l 上，当 C、Q
10、 两点重合时，等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀速运动，当点 C 与点 R 重合时等腰PQR 就停止运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积为 Scm2，解答下列问题：（1）求 S 与 t 的函数关系式；（2）当 t 为何值时，S 的值最大？并求 S 的最大值。 【巩固练习】1、 （2013 巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网 4 米的位置上，则球拍击球的高度 h 为 第 1 题图 第 2 题图2、 （2013 厦门）如图，在ABC 中，DEBC，AD=1 ，AB=3，DE=2，则 BC= 第 3 题图 第 4 题图 第
11、 5 题图 相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 1507483176363、 （2013 苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A、C 分别在 x，y轴的正半轴上点 Q 在对角线 OB 上，且 QO=OC，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P则点 P 的坐标为 4、 （2013 湘西）如图，在ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则EDF 与 BCF 的周长之比是（ ）A1：2 B1：3 C1：4 D1：55、 （2013 温州）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DE
12、BC，已知 AE=6， ，则 EC的长是（ ）A4.5 B8 C10.5 D14第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图 6、如图，点 M 是 ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于 ABC 的各边，所形成的三个小三角形 1、2、 3（图中阴影部分）的面积分别是 4，9 和 49则 ABC 的面积是 7、2013 自贡）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD 的平分线交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 F，BG AE 于 G，BG= ，则EFC 的周长为（ ）A11 B10 C9 D88、 （2013 黔东南）将一副三角尺如图所示叠放在一起，则 的值是 9、 （2
13、013 莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）A. 正方形与矩形 B. 正方形与菱形 C. 菱形与菱形 D. 正五边形与正五边形10.（2013 宜昌）如图，点 A，B，C，D 的坐标分别是（1，7） ， （1，1） ， （4，1） ， （6，1） ，以 C，D，E 为顶点的三角形与ABC 相似，则点 E 的坐标不可能是（ ）A（6，0） B（6，3） C（6，5） D（4，2）第 10 题图 第 11 题图 第 12 题图11、 （2013 重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，连接 CE 并延长与 BA 的延长线交于点F，若 AE=2ED，CD=3cm，则 AF
14、的长为( )A5cm B6cm 。 C 7cm D8cm相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 150748317637第 13 题图 第 14 题图 第 16 题图12、 （2013 荆门）如图，在 RtABC 中， ACB=90，D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点E，BC=6，sinA= ，则 DE= 13、 （2013 天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，ADE=60，则 AE 的长为 14、 （2013 恩施）如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE并延长交 DC 于点 F，则 D
15、F：FC=（ ）A1：4 B1：3 C2：3 D1：215、 （2013 孝感）在平面直角坐标系中，已知点 E（4，2） ，F（ 2，2） ，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，12把EFO 缩小，则点 E 的对应点 E的坐标是（ ）A （2， 1） B. （8， 4） C. （8，4）或（ 8， 4） D. （ 2，1）或（2，1）16、 （2013 泰州）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、 B 的坐标分别为（3，0） 、 （2，3） ，ABO是ABO 关于的 A 的位似图形，且 O的坐标为（ 1，0） ，则点 B的坐标为 17、 （2013咸宁）如图，正方形 ABCD 是一块绿化带
16、，其中阴影部分 EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（ ）ABCD18 （2014四川遂宁） 已知：如图，在ABC 中，点 A1，B 1，C 1 分别是 BC、AC、AB 的中点，A 2，B 2，C 2分别是 B1C1，A 1C1，A 1B1 的中点，依此类推若ABC 的周长为 1，则A nBnCn的周长为 17 题图19、 （2014 四川巴中）如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，过 D 作 MNAC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N，过点 B 作 BGMN 于 G
17、（1）求证：BGDDMA；（2）求证：直线 MN 是O 的切线相似三角形专题讲义 编讲：姚老师 15074831763820、 （2013 绍兴）在ABC 中，CAB=90 ，AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点，EC 与 AD 交于点 G，点 F 在 BC 上（1）如图 1，AC：AB=1 ：2，EFCB ，求证：EF=CD（2）如图 2，AC：AB=1 ： ，EFCE ，求 EF：EG 的值21、 (2014山东东营)【探究发现 】如图 1， ABC 是等边三角形， AEF=60，EF 交等边三角形外角平分线 CF 所在的直线于点 F，当点 E 是 BC 的中点时，有 AE=EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE、EF 的关系时，运用“从特殊到一般” 的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E 是直线 BC 上（B，C 除外）任意一点时（其它条件不变） ，结论 AE=EF 仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任意一点”；“ 点 E 时线段 BC 延长线上的任意一点” ； “点 E 时线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图 2 中画出图形，并证明 AE=EF【拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时，若 CE=BC，在图 3 中画出图形，并运用上述结论求出SABC：S AEF 的值
