1、第 1 页 共 11 页一对一授课讲义授课科目 学生姓名授课教师 授课时间授课内容 有理数及其运算知识点 1：有理数的概念及其分类（1） 整数可以分为正整数，零，负整数（2） 分数可以分为正分数和负分数（3） 整数和分数统称为有理数例 1.把下列各数填入相应的大括号内0.05,1,- ,-126,72.1,0,-12, ,+729,-628,-3 ,3. ,-1000.013532458341（1）正整数集合：（ ）（2）负分数集合：（ ）（3）整数集合：（ ）（4）非负数集合：（ ）知识点 2：数轴(1)数轴的 三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可） 。(2)任何一个有理数，都可以用
2、数轴上的 一个点来表示。 （反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）(3)如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。 （0 的 相反数是 0）(4)在数轴上，表示互为相反数的 两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。(5)数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的第 2 页 共 11 页1基础知识2题型讲解左边。例 1.如果数 a和 b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）（） （） ba（ 0（） 0ba例 2.已知 a是最小的正整数，b 的相反数还是它本身，c 比最大的负整数大 3，计算（2a+3c
3、）b 的值知识点 3：绝对值1. 绝对值的定义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离。数 a的绝对值记作|a|。2. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0 的绝对值是 0。)(|a或 )0(|a 3.绝对值的性质：除 0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除 0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|04.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。5.绝对值的性质：对任何有理数 a，都有|a|0；若|a|
4、=0，则|a|=0，反之亦然；若|a|=b，则a=b；对任何有理数 a,都有|a|=|-a|例 1.实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 的结果为（ ab）0-1-2-3 1 2 3越来越大b a0b a0第 3 页 共 11 页例 2.绝对值最小的数是（ ）例 3. =（ ）3例 4.若 ，则 a=（ ）3a例 5.已知 的值。abb求,0例 6.已知 x=8，y=-4，求 的值yx2知识点 4：有理数的加法1 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值
5、。一个数同 0相加，仍得这个数。2 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。例 1.下列结论不正确的是（ ）A.若 a0，b0，则 a+b0 B.若 a0，b0，则 a+b0C.若 a0，b0，则 ，则 a+b0 D.若 a0，b0，且 ，则ab aba+b0例 2.已知 a的相反数是 ，b 的绝对值为 4，c 是最大的非正数，求 a+b+c的值。53例 3.已知 =5， =6，且 ab，求 a+b的值第 4 页 共 11 页知识
6、点 5：有理数的减法1 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。例 1.若 =0，则( )yxA x=y Bx=-y Cx=y=0 Dx=y 或 x=-y例 2. =5， =8且 =-（a+b）求 a-b的值abba例 3.思考题已知 a，b，c 都是有理数，且满足 ，求代数式 的值。1cbaabc知识点 6：有理数的混合运算有理数的加减法混合运算的 步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法
7、法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。（注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相数。 ）例 1.已知 =3， =1， ，且 ，求 a-b+c的值ab5c )(,caba例 2.若数轴上的三个点 A，B，C 表示的数分别为 a，b，c 且点 c在点 A，B，之间，第 5 页 共 11 页试说明 baca知识点 7：有理数的乘法有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为 0。如果两个数互为倒数，则它们的乘积为 1。2 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘
8、法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为 1的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。例 1.已知 a与 b互为相反数，x 与 y互为倒数，c 的绝对值等于 2，求的值cxyb312例 2.已知：a 与 b互为相反数，x 与 y互为倒数， =5，求：m（a+b）+xy-2m知识点 8：有理数的除法有理数除法法则： 两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0的 数都得 0。0 不可作为除数，否则无意义。例 1.已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒
9、数， cd-mba94-,3求m第 6 页 共 11 页例 2.用字母 x，y，z 表示任一数，若 0， 0，则 （ ）0yxzzx例 3.已知非零的有理数 a，b，c，满足 （ abc,1则cba）知识点 9：有理数的乘方1 有理数的 乘方 注意：一个数可以看作是本身的 一次方，如 5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数次幂都是非负数；1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计
10、算幂的绝对值。例 1.（1）已知： 的值zy-x,6,0)6(52082）求 （zyx（2）已知 ，y 的平方等于 16，求 的值3例 2.若 ，求代数式 5x+4y-2a的值2,)(,)54(3322 ayx知识点 10：有理数的混合运算及科学记数法有理数混合运算法则：先算乘方,再算乘除,最后算加减。如果有括号,先算括号里面的 。科学记数法：一般地，一个大于 10的 数可以表示成 a10n的形式，其中1a10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。an个 n指数底数幂第 7 页 共 11 页例 1.（1） （-10 95)4(3195)2（2） 23（3） 41432917例 2.已知
11、a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的2092082-cdmba,4cd求值例 3.已知 的值4c-ba,3,0)2(15）求 （ cba例 4.若（a+1） 的值bcacb3,01)32(求例 5.用科学记数法表示下列各数（1）579 900 000 （2）5 900 000 000（3）350 000 000 （4）0.000 005 131.把下列各数填入分别填在相应的大括号内1,- ,8.9, ,-3.2,+1008,-0.05,0,-9,28546正整数集合：（ ）负整数集合：（ ）正分数集合：（ ）第 8 页 共 11 页3随堂练习负分数集合：（ ）2.在数轴上距离原点为 2
12、的点所对应的数为（ ） ，它们互为（ ）3.已知 m与 n互为倒数，a 与 b互为相反数，c 的绝对值为 3，求 amn-5c+b的值4.（1）-7 7251972(2)-1 2435.0(3)- 39221135.用科学记数法表示下列各数（1）3 690 000 （2）0.097 （3）300 000 000第 9 页 共 11 页4课后作业1.把下列各数填到相应的大括号里-1， 4.3， +72， 0， ， -6.4， -12， ， 26， ， ， .316532741672整数集合： 正数集合： 负数集合： 非负整数集合： 自然数集合： 正分数集合： 负整数集合： 2. 的相反数大于本身
13、， 的相反数等于本身， 的相反数小于本身 3.如图，是数轴的是（ ）（） （） （） （）4.如果数 和 在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）ab（） （） （） （）a0ab0ba5.如果 ，那么 是 ，如果 ，那么 是 6.若 ，则 ；若 ，则 a 1a7.设 ， ， 是的相反数，则 的大小关系是（ ）1bccb,（） （） （） （） cbacba8.若一个数 的绝对值是，且 在数轴上的位置如图所示，试求 的相反数a-1 100-1 10 232b a0a 0 1第 10 页 共 11 页9.若 ，给出下面 4个结论： ； ； ； 其中不正确的有 2a aa110.若 ，
14、则 1；若 ，则 1；1mm若 ，则 ；若 ，则 4xx2xx11.已知 ，且有理数 在数轴上的位置如图所示，计算 的值3c ,2b ,acba , cba12.已知 ， ，且 ，求 的值5xyyx13.若 则 , , 3a14.（ 1）若 ，则 0；（ 2）若 ，则 0；0nmn0 ,nmn（ 3）若 ，且 ，则 0； ,baba（ 4）若 ，且 ，则 0 a15.已知 ，且 ，则 0b16.已知 ，则 的相反数是 32bab17.若 互为相反数， 互为倒数，则 , dc, cda218.(1) 081741321(2). ； 7135215.03814(3). 761231018.（用 “ ”“ ”或 “ ”号填空）如果 ，那么 ；如果 ，0 ,baba0 ,ba那么 ；如果 ，那么 ba0 ,bacb a0
