1、三角函数典型例题1 设锐角 的内角 的对边分别为 , .ABC， ， abc， ， 2sinA() 求 的大小;() 求 的取值范围.cosin【解析】:() 由 ,根据正弦定理得 ,所以 ,2sabAsinisAB1i2由 为锐角三角形得 .ABC6B() cosincosini6A13cossin2A.3in2 在 中,角 A BC 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C() 求角 B 的大小;()设 且 的最大值是 5,求 k 的值.241msin,co,k,mn【解析】:(I)(2 a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBco
2、s C 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA 01,t=1 时, 取最大值.依题意得,-2+4 k+1=5,k= .233 在 中,角 所对的边分别为 , .ABC, cba， 2sin2siCBAI.试判断 的形状; II.若 的周长为 16,求面积的最大值.【解析】:I. )4si(sin2cosin2si C,所以此三角形为直角三角形.4C即II. , 当且仅当 时取等abba1622)(6ba号,此时面积的最大值为 .4634 在 中,a 、 b、 c 分别是角 A BC 的对边,C =2A, ,AB 4
3、3cos(1)求 的值;Cosc(2)若 ,求边 AC 的长27【解析】:(1) 816921cossc2A47sin,43;873in,81osC得由得由 16983cosinc CAAB(2) 24,7o,27 aBa又 cCca3s,sini由解得 a=4,c=6 251694816os22 ab,即 AC 边的长为 5.55 已知在 中, ,且 与 是方程 的两个根.ABCAtanBt 0652x() 求 的值;)tan() 若 AB ,求 BC 的长.5【解析】:() 由所给条件 ,方程 的两根 . 0652xtan3,t2AB tanttan()1ABB31() , .80C)(由
4、()知, ,)tan(t 为三角形的内角, 2si , 为三角形的内角, , tan3A3in10A由正弦定理得: siiBC .535210C6 在 中,已知内角 A BC 所对的边分别为 a、 b、 c,向量 ,B 2sin,3mB,且 2cos,1n/mn(I)求锐角 B 的大小;(II)如果 ,求 的面积 的最大值bACABCS【解析】:(1) 2sinB(2cos2 -1)=- cos2B/mnB2 32sinBcosB=- cos2B tan2B=-3 302B,2B= ,锐角 B=23 3(2)由 tan2B=- B= 或33 56当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得:34
5、=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立)ABC 的面积 SABC= acsinB= ac12 34 3ABC 的面积最大值为 3当 B= 时,已知 b=2,由余弦定理,得:564=a2+c2+ ac2ac+ ac=(2+ )ac(当且仅当 a=c= - 时等号成立)3 3 3 6 2ac4(2- )3ABC 的面积 SABC= acsinB= ac 2-12 14 3ABC 的面积最大值为 2- 37 在 中,角 A BC 所对的边分别是 a,b,c,且 .212acb(1)求 的值;2cossin2(2)若 b=2,求ABC 面积的最大值.【解析】:(1) 由
6、余弦定理:cosB= 14+cos2B= 2sinAC(2)由 b=2, .415sin,41coB得+ = ac+42ac,得 ac , SABC= acsinB (a=c 时取等号)a212 3812 35故 SABC 的最大值为 58 已知 ,求 的值)1(,tan2tan)si(4【解析】 ;a129 已知 3sin5coscos23tan2f (I)化简 f(II)若 是第三象限角,且 ,求 的值31cos25f【解析】10已知函数 f(x)=sin2x+ 3sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数 f(x)的图象可以由函数 y
7、=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1) 1cos23()in(1cos2)xfxxx 3sin2s().6xf的最小正周期 2.T 由题意得 2,6kxkZ即 ,.36kxkZ ()fx的单调增区间为 ,.3 (2)先把 sin2yx图象上所有点向左平移 12个单位长度, 得到 ()6的图象,再把所得图象上所有的点向上平移 32个单位长度, 就得到 3siyx的图象 11已知 , , 2a)4cos,(inxbbaf(1)求 的单调递减区间)(xf(2)若函数 与 关于直线 对称,求当 时, 的最大值gy)(xf1340x)(xgy【解析】:(1) )sin(34co2
8、sin3)( xf当 时, 单调递减 ,24k)xf解得: 时, 单调递减 8310kx(f(2)函数 与 关于直线 对称)(gy)x1 342(sin2)( fxco34sin3x ,0x2,x 21,34s 时, 23)(maxg12已知 cosin,求下列各式的值;(1) 2i3;(2) siicos【解析】: 1cos2in,ta2Q (1) 2int 41s3cosan352(2)22 2siincossini221tat 3n513设向量 (si,co),(s,co),xbxR,函数 ()fxab(I)求函数 f的最大值与最小正周期;(II)求使不等式 3()2x成立的 x的取值集
9、合【解析】14已知向量 , , 与 为共线向量,且)132(cosm)(sinm0,2() 求 的值;in() 求 的值.cosin2【解析】:() 与 为共线向量, ,m0sin)1()32(cos即 32cosin() , 92)cos(ini197sin,)cosn2916)3(i 22又 , , 00cosin34cosin因此, 127cosin15如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 , ,于0753水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 ,AC=0.1km试探究图中 B,
10、D 间06距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,1.414, 2.449) 26【解析】:在 中, =30, =60- =30,ACADC所以 CD=AC=0.1又 =180-60-60=60,BCD故 CB 是 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 中, , AABCsinsi即 AB= 206351in6因此, km3.0263BD故 BD 的距离约为 0.33km 16已知函数 (其中 )的图象与 x 轴的交点()sin(),fxAxR0,2A中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 .2(,3M() 求 的解析式;( )当 ,
11、求 的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m fx1x()fx【解析】： (1)由最低点为 得 A=2.()3M由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 ,2T2T由点 在图像上的2(,)34sin()13即 sin(故 4,kZ16k又 (0,)()2si()26fx故(2) 7,13x 当 = ,即 时, 取得最大值 2;当()fx6x即 时, 取得最小值-1,故 的值域为-1,2 2x()f17如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 ,50ABm,于 A 处测得水深 ,于 B 处测得水深 ,于 C 处测得水深10BCm80D
12、m20E,求 DEF 的余弦值 F【解析】:作 交 BE 于 N,交 CF 于 M./DMAC, 22301798F,5EN22() 50BC在 中,由余弦定理,DF222131986cos 05EDF18已知 ， ，51csin),2(求（1） （2） （3）o3sinco44sinco【解析】：（1） 479137i()i(3)sinco2562519已知函数 （ ， ， ）的一段图象如图s(xAy0A|所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知： ；3228TT2A ，又 为“ 五点画法”中的第二点 2sinyx， 所求函数解析式为：384 32sin4yx（2）当 时， 单调递增324xkkZ， f 558xkZ， ，20已知 的内角 A BC 所对边分别为 a、b、c，设向量BC，)2cos),cs(1Bm
