1、11 概率论与数理统计习题及答案习题 一1 略.见教材习题参考答案.2.设 A，B ，C 为三个事件，试用 A，B，C 的运算关系式表示下列事件：（1） A 发生，B，C 都不发生； （2） A 与 B 发生，C 不发生；（3） A，B ，C 都发生； （4） A，B ，C 至少有一个发生；（5） A，B ，C 都不发生； （6） A，B ，C 不都发生；（7） A，B ，C 至多有 2 个发生； （8） A，B ，C 至少有 2 个发生.【解】 （1） A （2） AB （3） ABC（4） AB C= C B A BCA CAB ABC=BABC(5) = (6) (7) BCA CAB
2、CA B = = (8) ABBCCA= AB A C BCABCB3. 略.见教材习题参考答案4.设 A，B 为随机事件，且 P（A）=0.7,P(AB)=0.3，求 P（ ）.AB【解】 P（ ）=1P（AB）=1P( A)P(AB)=10.70.3=0.65.设 A，B 是两事件，且 P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1） 在什么条件下 P（AB ）取到最大值？（2） 在什么条件下 P（AB ）取到最小值？【解】 （1） 当 AB=A 时，P（AB）取到最大值为 0.6.（2） 当 AB= 时，P（AB）取到最小值为 0.3.6.设 A，B ，C 为三事件，且 P（A）=P（B）
3、=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12 ，求 A，B，C 至少有一事件发生的概率.【解】 P（AB C ）=P(A)+P(B)+P(C)P( AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)2= + + =143247. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率是多少？【解】 p= 5321315C/8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】 （1） 设 A1=五个人的生日都
4、在星期日，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故P（A 1）= =（ ） 5 （亦可用独立性求解，下同）57（2） 设 A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为 65，故P（A 2）= =( )56(3) 设 A3=五个人的生日不都在星期日P（A 3）=1P (A1)=1( )579. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n30.如图阴影部分所示. 23164P22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1） 两个数之和小于 的概率；65（2） 两个数之积小于 的概率.14【解】 设两数为 x,y，则 0x,y1.（1） x+y
5、.6511720.68p(2) xy= .41241dln2xpy23. 设 P（ ）=0.3,P(B)=0.4, P(A )=0.5，求 P（BA ）A【解】 )()(60.7516.424. 在一个盒中装有 15 个乒乓球，其中有 9 个新球，在第一次比赛中任意取出 3 个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出 3 个球，求第二次取出的 3 个球均为新球的概率.【解】 设 Ai=第一次取出的 3 个球中有 i 个新球，i=0,1,2,3. B=第二次取出的 3 球均为新球由全概率公式，有 30()()iiiPBAP31232133696896796155515CCC0.825. 按以
6、往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的学生有 90%的可能考试不及格 .据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则 =被调查学生是不努力学习的. 由题意知AP（A ）=0.8，P（ ）=0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P（B|A）=0.9，P （ | ）=0.9，故由贝叶斯公式知B（1）()()() ()PAB0.210.2789.3即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702%(2) ()()(
7、) ()PAPABB0.8140.372.9即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%.26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 21.若接收站收到的信息是 A，试问原发信息是 A 的概率是多少？【解】 设 A=原发信息是 A，则=原发信息是 BC=收到信息是 A，则=收到信息是 B由贝叶斯公式，得7()()()PACPAC2/30.98.942127. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（
8、箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设 Ai=箱中原有 i 个白球（i=0,1,2） ，由题设条件知 P（A i）= ,i=0,1,2.又设 B=抽13出一球为白球.由贝叶斯公式知 11120()()()(iiiBPAB/3/1/328. 某工厂生产的产品中 96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设 A=产品确为合格品，B=产品被认为是合格品 由贝叶斯公式得 ()()() ()PABPAB0.9680.984.529. 某保险公司把被保险人分为三类：
9、“谨慎的” ， “一般的” ， “冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为 0.05,0.15 和 0.30；如果“谨慎的”被保险人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】 设 A=该客户是“谨慎的”，B=该客户是“一般的 ”，C=该客户是“ 冒失的”，D=该客户在一年内出了事故则由贝叶斯公式得 ()()|(|)(| ()|PPADBCP0.250.57.1.330. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工
10、序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设 Ai=第 i 道工序出次品（i=1,2,3,4）. 412341()()iPAA4()P810.987.509.12431. 设每次射击的命中率为 0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于 0.9?【解】设必须进行 n 次独立射击. 1(0.8).9n即为 1故 n11至少必须进行 11 次独立射击.32. 证明：若 P（AB ）= P(A )，则 A，B 相互独立.【证】 即(|)|()P亦即 ()()1()PABAB因此 ()P故 A 与 B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 ，
11、， ，求将此密码破译出1534的概率.【解】 设 Ai=第 i 人能破译（i=1,2,3） ，则31231231()()()()iPAPA40.6534. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设 A=飞机被击落， Bi=恰有 i 人击中飞机 ，i =0,1,2,3由全概率公式，得 30()(|)iiiPP=(0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7)0.2+(0.40.50.3+0.4
12、0.50.7+0.60.50.7)0.6+0.40.50.7=0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率.9（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.【解】 （1） 310110C(.5).6.538kkkp(2) 102104(.).7.24kkk36. 一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”
13、；（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开” ；（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开” ；（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106 种.（1） ，也可由 6 重贝努里模型：2469()10PA24619()C)(0PA（2） 6 个人在十层中任意六层离开，故 610()B（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 种可能结果，再10C从六人中选二人在该层离开，有 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开26C的情况，因此可包含以下三种离开方式：4 人中有 3 个人在同一层离开
14、，另一人在其余 8 层中任一层离开，共有 种可能结果；4 人同时离开，有 种可1398 19能结果；4 个人都不在同一层离开，有 种可能结果，故P123146069489()C()/0P（4） D= .故B610P()1()DB37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果 n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.10【解】 （1） 1pn(2) 23!(),3(3) 121!();,3!nppn38. 将线段0，a任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】 设这三
15、段长分别为 x,y,axy.则基本事件集为由0xa,0ya,0axya 所构成的图形，有利事件集为由 ()xy构成的图形，即 022axyax如图阴影部分所示，故所求概率为 .14p39. 某人有 n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开 k 次（k =1,2,n）才能把门打开的概率与 k 无关 .【证】 1P,2,knpn40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有 i 面涂有颜色的概率 P（A i） （i =0,1,2,3）.【解】 设 Ai=小立方体有 i 面涂有颜色，i=0,1,2,3.在 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有 8 个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有 128=96 个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有 886=384 个.其余 1000（8+96+384 ）=512 个内部的小立方体是无色的，故所求概率为,01512384().,()0.PAPA.2496041.对任意的随机事件 A，B，C ，试证P（ AB）+ P（AC ）P（BC ）P( A).【证】 ()()BC
