1、第 1 页（共 12 页）三角形综合题一解答题（共 30 小题）1如图所示，在ACB 中， ACB=90 ，1=B（1）求证：CDAB；（2）如果 AC=8，BC=6，AB=10，求 CD 的长2如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点，AB与 AG 关于 AE 对称，AE 与 AF 关于 AG 对称（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）若 AB=2，求AFD 的面积3如图，四边形 ABCD 中，C=90，ADDB，点 E 为 AB 的中点，DEBC（1）求证：BD 平分ABC；（2）连接 EC，若A=30 ，DC= ，求 EC 的长4如图，已知
2、AC=4，求 AB 和 BC 的长第 2 页（共 12 页）5中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展现用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“ 弦图” Rt ABC 中，ACB=90，若 AC=b，BC=a ，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明 a2+b2=c2；（2）如果大正方形的面积是 10，小正方形的面积是 2，求（a+b ） 2 的值6如图，已知在四边形 ABCD 中，A=90，AB=2cm，AD= cm，CD=5cm，BC=4cm，求四边形 ABCD 的面积7我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”观
3、察：3、4、5；5、12 、13；7、24 、25；9、40、41； ，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；（2）若第一个数用字母 n（n 为奇数，且 n3）表示，那么后两个数用含 n 的代数式分别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数8如图，一学校（点 M）距公路（直线 l）的距离（MA）为 1km，在公路上距该校 2km 处有一车站（点 N） ，该校拟在公路上建一个公交车停靠点（点 p） ，以便于本校职工乘车上下班，要求停靠站建在 AN 之间且到此校与车站的距离相等，请你计算停靠站到车站的距离第 3 页（共 12 页）9
4、如图，圆柱形玻璃容器高 19cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底 1.5cm 的点 A 处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底 1.5cm 处的点 B 处有一只苍蠅，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度10如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是 12cm，8cm，30cm （1）在 AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 D 处爬到 C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？（2）此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？11阅读下面的文字，回答后面的问题例：求 1+3+32+35+3100 的值解：令 S=1+3+32+33+3100将等式两
5、边提示乘以 3 得到：3S=3+3 2+33+34+3101得到：2S=3 1011， S= 1+3 +32+33+3100= 问题：（1）求 1+2+4+8+22016 的值；（2）求 2+6+18+2350 的值；（3）如图，在等腰 RtOAB 中，OA=AB=1 ，以斜边 OB 为腰作第二个等腰 RtOBC，再以斜边 OC 为腰作第三个等腰 RtOCD，如此下去一直作图到第 100个图形为止求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和 （直接写出结果第 4 页（共 12 页）12如图所示，在ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F点
6、E 是 AB 的中点，连接 EF（1）求证：EFBC ；（2）若四边形 BDFE 的面积为 9，求ABD 的面积13如图 1，Rt ABC 中，ACB=90，点 D 为边 AC 上一点，DEAB 于点E点 M 为 BD 中点，CM 的延长线交 AB 于点 F（1）求证：CM=EM；（2）若BAC=50 ，求 EMF 的大小；（3）如图 2，若DAE CEM ，点 N 为 CM 的中点，求证：ANEM14如图，在 RtABC 中，C=90 ，A=30，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动过点 P 作 PDAC 于点 D（点 P不与点 A、B 重
7、合） ，作DPQ=60 ，边 PQ 交射线 DC 于点 Q设点 P 的运动时间为 t 秒（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；第 5 页（共 12 页）（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；（3）设PDQ 与ABC 重叠部分图形的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过 ABC 一边中点时，直接写出 t 的值15如图，在ABC 中， BAC=90 ，AB=AC，ADBC 于点 D（1）如图 1，点 E，F 在 AB，AC 上，且EDF=90 求证：BE=AF；（2）点 M， N 分别在直线 AD，AC 上，且BMN=90如图 2，当点
8、 M 在 AD 的延长线上时，求证：AB+AN= AM；当点 M 在点 A，D 之间，且AMN=30时，已知 AB=2，直接写出线段 AM 的长16已知点 A（3，4） ，点 B 为直线 x=1 上的动点，设 B（1，y ） （1）如图，若ABO 是等腰三角形且 AO=AB 时，求点 B 的坐标；（2）如图，若点 C（x，0）且1x3，BCAC 垂足为点 C；当 x=0 时，求 tanBAC 的值；若 AB 与 y 轴正半轴的所夹锐角为 ，当点 C 在什么位置时 tan 的值最大？第 6 页（共 12 页）17我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad） ，如图，在ABC 中，AB
9、=AC ，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA= 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad90= （2）对于 0A 180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 （3）如图，已知 sinA= ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值18已知关于 x 的方程 x2（m+n +1）x +m（n 0）的两个实数根为 、，且（1）试用含 、 的代数式表示 m 和 n；（2）求证：1；（3）若点 P（，）在ABC 的三条边上运动，且 ABC 顶点的坐标分别为A（1 ，2 ） 、B （ ，1） 、C（1，1） ，问是否存在点 P，使 m+
10、n= ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由19如图 1，在等边ABC 和等边ADP 中，AB=2，点 P 在ABC 的高 CE 上（点 P 与点 C 不重合） ，点 D 在点 P 的左侧，连接 BD，ED（1）求证：BD=CP；（2）当点 P 于点 E 重合时，延长 CE 交点 BD 于点 F，请你在图 2 中作出图形，并求出 BF 的长；（3）直接写出线段 DE 长度的最小值第 7 页（共 12 页）20如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，ACB 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上， AB、CD 交于点 F，连接 BD（1）求证：ECA DC
11、B；（2）求证：AE 2+AD2=2AC2；（3）若 AE=2，AF：CF= ：3，求线段 AB 的长21如图，ABC 中，AB=BC，BD AC 于点 D， FAC= ABC ，且FAC 在AC 下方点 P，Q 分别是射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PECQ 于点 E，连接 DE（1）若ABC=60 ，BP=AQ如图 1，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系；如图 2，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断 中的结论是否成立，并说明理由；（2）若A
12、BC=260 ，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使（1）中的结论仍然成立（用含 的三角函数表示） 22如图，在ABC 中， AB=7.5，AC=9 ，S ABC = 动点 P 从 A 点出发，沿 AB方向以每秒 5 个单位长度的速度向 B 点匀速运动，动点 Q 从 C 点同时出发，以相同的速度沿 CA 方向向 A 点匀速运动，当点 P 运动到 B 点时，P、Q 两点同时停止运动，以 PQ 为边作正 PQM（P、Q 、M 按逆时针排序） ，以 QC 为边在 AC上方作正QCN，设点 P 运动时间为 t 秒第 8 页（共 12 页）（1）求 cosA 的值；（2）当PQ
13、M 与QCN 的面积满足 SPQM = SQCN 时，求 t 的值；（3）当 t 为何值时， PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在 QCN 的边上23 （1）问题发现如图 1，在OAB 和OCD 中，OA=OB，OC=OD，AOB=COD=40，连接AC，BD 交于点 M填空： 的值为 ；AMB 的度数为 （2）类比探究如图 2，在OAB 和OCD 中，AOB= COD=90，OAB=OCD=30，连接AC 交 BD 的延长线于点 M请判断 的值及AMB 的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点M，若 OD=1，OB= ，
14、请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长24已知：ABC 是等腰三角形， CA=CB，0 ACB 90 点 M 在边 AC 上，点 N 在边 BC 上（点 M、点 N 不与所在线段端点重合） ，BN=AM，连接AN，BM ，射线 AGBC，延长 BM 交射线 AG 于点 D，点 E 在直线 AN 上，且AE=DE第 9 页（共 12 页）（1）如图，当ACB=90时求证：BCM ACN；求BDE 的度数；（2）当ACB=，其它条件不变时，BDE 的度数是 （用含 的代数式表示）（3）若ABC 是等边三角形， AB=3 ，点 N 是 BC 边上的三等分点，直线 ED与直线 BC 交于点
15、F，请直接写出线段 CF 的长25 （1）操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中 AB=AC，在ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取BD，CE，BC 的中点 M，N ，G ，连接 GM，GN小明发现了：线段 GM 与 GN的数量关系是 ；位置关系是 （2）类比思考：如图，小明在此基础上进行了深入思考把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 ABAC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由（3）深入研究：如图，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究向ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，其它条件不
16、变，试判断GMN 的形状，并给与证明第 10 页（共 12 页）26在ABC 中，AB=BC，点 O 是 AC 的中点，点 P 是 AC 上的一个动点（点 P不与点 A，O，C 重合） 过点 A，点 C 作直线 BP 的垂线，垂足分别为点 E 和点F，连接 OE，OF（1）如图 1，请直接写出线段 OE 与 OF 的数量关系；（2）如图 2，当ABC=90时，请判断线段 OE 与 OF 之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CFAE|=2 ，EF=2 ，当POF 为等腰三角形时，请直接写出线段 OP 的长27问题呈现如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D，N 和 E，C ，DN 和 EC 相交于点 P，求 tanCPN 的值方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形观察发现问题中CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得 MNEC，则DNM= CPN，连接 DM，那么 CPN 就变换到 RtDMN 中问题解决（1）直接写出图 1 中 tanCPN 的值为 ；（2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AN 与 CM 相交于点 P，求
