1、1三角恒等变换大题1.求函数 y 74sin xcos x4cos 2x4cos 4x 的最大值和最小值2.已知函数 f(x) . 4cos4x 2cos 2x 1sin(4 x)sin(4 x)(1)求 f 的值；( 1112)(2)当 x 时，求 g(x) f(x)sin 2x 的最大值和最小值0，4) 123.已知 sin( 2)sin( 2) ， ( ， )，求 2sin2tan 1 的值4 4 14 4 2 1tan 24. 已知 是第一象限角，且 cos ，求 的值513 sin 4cos2 45.已知 sin(2)3sin ，设 tan x ，tan y，记 yf(x)(1)求证
2、：tan( )2tan ； (2)求 f(x)的解析表达式；(3)若角 是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域6已知函数12sin()4()coxfx. （）求 的定义域；（）设 的第四象限的角，且 tan43，求 ()f的值。21 世纪教37.已知 ， ，试求 的值0215tan2tsin38.已知函数 f(x) sin2xmsin sin .(1 1tan x) (x 4) (x 4)(1)当 m0 时，求 f(x)在区间 上的取值范围；8，34(2)当 tan 2 时，f () ，求 m 的值359.已知 ， xR213sintancos2txfxx（1） 若 ，求 的单调的递
3、减区间；0f（2） 若 ，求 的值32fxx410设函数 f(x) sin xcos xcos xsin .3 (2 x) 12(1)求 f(x)的最小正周期；(2)当 时，求函数 f(x)的最大值和最小值0，211.已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x4cos x.(1)求 f( )的值； (2)求 f(x)的最大值和最小值312.（1）已知 120tan .2210， =,cos(-)=,求 的 值 , 3,ins(+)（ 2） 求 的 值 . 已 知 ， 为 锐 角 ， 且 +5课堂活动区例 1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值
4、的尽量求值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解 y74sin x cos x4cos 2x4cos 4x72sin 2x4cos 2x(1 cos2x)72sin 2x4cos 2xsin2x72sin 2xsin 22x(1 sin 2x )26，由于函数 z(u1) 26 在1,1中的最大值为 zmax(11) 2610，最小值为 zmin (11) 26 6，故当 sin 2x1 时，y 取得最大值 10，当 sin 2x1 时，y 取得最小值 6.变式迁移 1 解 (1)f(x )1 cos 2x2 2cos 2x 1sin(4 x)
5、sin(4 x)cos22xsin(4 x)cos(4 x) 2cos 2x ，2cos22xsin(2 2x) 2cos22xcos 2xf 2cos 2cos .( 1112) ( 116) 6 3(2)g(x)cos 2xsin 2x sin .2 (2x 4)x ， 2x ，0，4) 4 4，34)当 x 时， g(x)max ，8 26当 x0 时， g(x)min1.例 2 解题导引 (1) 这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数解 由 sin( 2)sin( 2)4 4sin( 2 )c
6、os( 2)4 4 sin( 4) cos 4 ，12 2 12 14cos 4 ，又 ( ， )，故 ，12 4 2 5122sin2tan 11tan cos 2sin2 cos2sin cos cos 2 2cos 2sin 2cos .562cos56sin56 532变式迁移 2 解 (1) 是第一象限角， cos ，513sin .1213 sin 4cos2 422sin cos cos 222sin cos cos2 sin27 .22cos sin 22513 1213 13214(2)cos(2 )cos 2 cos sin 2sin4 4 4 (cos 2sin 2 )，
7、22 0，4 35故可知 ，32 474sin( ) ，4 45从而 cos 2sin(2 )22sin( )cos( )4 42( ) .45 35 2425sin 2cos(2 )212cos 2( )412( )2 .35 725cos(2 ) (cos 2sin 2) ( )4 22 22 2425 725 .312508例 3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右
8、归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3) 小题则利用基本不等式求解即可(1)证明 由 sin(2)3sin ，得 sin()3sin ( )，即 sin()cos cos( )sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin ，tan() 2tan .(2)解 由(1)得 2tan ，即 2x，tan tan 1 tan tan x y1 xyy ，即 f(x) .x1 2x2 x1 2x2(3)解 角 是一个三角形的最小内角，0 ，0x ，3 3设 g(x)2x ，则 g(x)2x 2 (当且仅当 x 时取
9、“”)1x 1x 2 22故函数 f(x)的值域为(0， 24变式迁移 3 证明 因为左边 2sin xcos xsin x cos x 1sin x cos x 12sin xcos xsin2x cos x 122sin xcos xsin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x1 cos x9sin x1 cos x1 cos x1 cos x 右边sin x1 cos xsin2x 1 cos xsin x所以原等式成立课后练习区1D 0，3sin 2sin ，6sin cos sin ，又sin 0，cos ，16cos()c
10、os()cos .162C 因为 ，4 4所以 ( ) .4 ( 4)所以 tan tan( 4) ( 4) .tan tan( 4)1 tan tan( 4) 3223B cos 21 2sin2，12sin2 .又 ，14 ( 4，0)sin .124B f(x)2tan x 2tan x1 2sin2x212sin x 2cos xsin x 2sin xcos x 4sin 2x10f 8.(12) 4sin 65C 由 cos 2B3cos( AC)20 化简变形，得 2cos2B3cos B1 0，cos B 或 cos B1( 舍)12sin B .326247解析 因为 为第二象限的角，又 sin ，35所以 cos ，tan ，45 sin cos 34所以 tan 2 .2tan 1 tan2 24771 2解析 y2cos 2xsin 2xsin 2x 1cos 2xsin 2 xcos 2x1 sin 1，2 (2x 4)当 sin(2x )1 时，函数取得最小值 1 .4 28.12解析 cos 2sin( 4)cos2 sin222sin cos (sin cos ) ，222cos sin .129解 (1)sin 2 2sin cos ，
