1、构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用 “ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：()()SAS用用用用 或搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来
2、，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考1截长补短法例 1如图（1）已知：正方形 ABCD 中，BAC 的平分线交 BC 于 E，求证：AB+BE=AC解法（一）（补短法或补全法）延长 AB 至 F 使 AF=AC，由已知AEFAEC，F=ACE=45，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法）在 AC 上截取 AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE= ABE,ACE=45, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC2平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对 Rt,有时可作出斜边的
3、中线例 2ABC 中，BAC=60，C=40AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80 ，又AQO= C+ QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO ，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO ，DBO=DOB，BD=OD， AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 说明：本题也可以在 AB 截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长补短法” 本题利用“
4、平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 来解决 如图（3），过 O 作 DEBC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，则ADOAQO，ABO AEO 来解决AB CPQD OOAB CPQD图（2）AB CPQD E图（3）OAB CDFEG图（1） 如图（4），过 P 作 PDBQ 交 AB 的延长线于 D，则APD APC 来解决 如图（5），过 P 作 PDBQ 交 AC 于 D，则ABP ADP 来解决（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）3旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形
5、。例 3 如图 3 所示，已知点 、 分别在正方形 的边EFABCD与 上，并且 平分 ，求证： 。BCDADFE分析：本题要证的 和 不在同一条直线上，因而要设法B将它们“组合”到一起。可将 绕点 旋转 到 ，90G则 ， = ，从而将 转化为线段FGEFBE，再进一步证明 即可。证明略。EA4倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例 4如图（7）AD 是ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=BE求证：AC=BF证明：延长 AD 至 H 使 DH=AD，连 BH，BD=CD，BDH=ADC，DH=DA，BDH
6、CDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 图（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形例 5如图（8）已知：在ABC 中，A=45, ADBC，若 BD=3，DC=2， 求：ABC 的面积解：以 AB 为轴将ABD 翻转 180，得到与它全等的ABE，以 AC 为轴将ADC 翻转 180，得到与它全等的AFC，EB、FC 延长线交于 G，易证四边形 AEGF 是正方形，设它的边长为 x，则 BG=x3，CG=x2，在 RtBGC 中，（x-3 ）
7、+（x-2） =5 22解得 x=6，则 AD=6，SABC= 56=15 图（8）1练习：EAB CDFHAB CDEGFAB CPQ图（4）DOAB CPQ图（5）DO D图 3CBAEFAB CPD例 3已知：如图（6），P 为ABC 内一点，且 PA=3，PB=4，PC=5 ，求APB 的度数分析：直接求APB 的度数，不易求，由 PA=3，PB=4，PC=5，联想到构造直角三角形略解：将BAP 绕 A 点逆时针方向旋转 60至ACD ，连接 PD，则BAP ADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60，又PC=5，PD +DC =PC 图（6）22PDC 为 Rt, PDC=90
8、APB=ADC=ADP+PDC=60+90=150、平移法构造全等三角形例 如图所示，四边形 中， 平分 ，若 ， ，求证：ABCDABDCB。180BD分析：利用角平分线构造三角形，将 转移到 ，而 与 互补，ECE，从而证得 。主要方法是：“线、角进行转移”。CE180证明：在 上截取 ，AEAD在 与 中，DCA （SAS）CE , ,D ,B ， , CE ,180A .BD、翻折法构造全等三角形例 如图所示，已知 中， ， ， 平分 ，求证：BCA90CBDABC。AC证明： 平分 ，将 沿 翻折后，点 落在 上的点 ，则有 ，BDDEE在 与 中，ECBDD图EBAD图 2ECA
9、（SAS）BCDE , ,90ACDE 已知 中， ， ，B90A ,45 ,ED ,A 。BCD3、旋转法构造全等三角形例 3 如图 3 所示，已知点 、 分别在正方形 的边EFABCD与 上，并且 平分 ，求证： 。CDAFE分析：本题要证的 和 不在同一条直线上，因而要设法BD将它们“组合”到一起。可将 绕点 旋转 到 ，90G则 ， = ，从而将 转化为线段FGEFBE，再进一步证明 即可。证明略。EA4、延长法构造全等三角形例 4 如图 4 所示，在 中， ，C2，求证： 。BADBD分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长 至 ，使 ，构造ACEAB ，然后证明 ，就可得 。ABDEDCD5、截取法构造全等三角形例 5 如图 5 所示，在 中，边 上的高为 ，又 ，求证：B2。C分析：欲证明 ，可以在 上截取一线段等于 ，再证明另一线段等于 。DACDBDAB如果截取 （如图所示），则 可认为而 沿 翻折而来，从而只需证明EEA即可。 证明略。AD图 3CBAEFD图 4CBAED图 5CBE
