1、椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值 2a+2c性质二：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角),0(12bayx ,21F形 中 则 .21FP,21tn21SPF证明：记 ，| rr由椭圆的第一定义得 .4)(,22121 ara在 中，由余弦定理得：21PF .)(cos2配方得： .)( 22121rr即 .4cos42a.1)(221br由任意三角形的面积公式得：.2tan2cosincos1insi22211 bbbrSPF
2、.tan21PF性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角),0(12bayx ,21F形 中 则 并且点 P 在 y 轴上是张角最大。21FP,21.2cos2e证明：设 则在 中，由余弦定理得：,21r21PF124)(cos 2121 rcarcy F1 O F2 xP当切仅当 ，即点 P 在 y 轴是.211)2(212 eabr 21r取的最小值，而角 取得最大值。cos二 典型例题例 1 如图把椭圆 的长轴 AB 分成 8 分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上2156xy半部分于 , , 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1P27_ 1.F解：只需取椭圆的另一焦点与 , , 七个
3、点分1P27别连接，由结论 1 和对称性可知 127.453PFF例 2 若 P 是椭圆 上的一点， 、 是6102yx1F2其焦点，且 ，1）求 的面积 2）求点 P 的坐标2F21P例 3 已知 、 是椭圆 的两个焦点，椭圆上一点 使12 )0(2bayx，求椭圆离心率 的取值范围。9021Pe由焦点三角形性质二， .2190cos 2e1三 练习题1. 椭圆 上一点 P 与椭圆两个焦点 、 的连线互相垂直，则492xy 1F2的面积为（ ）21PFA. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面142yx1F2 21PF积为 1
4、时， 的值为（ ）21PFA. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆 的左右焦点为 、 ， P 是椭圆上一点，当 的面42yxF2 21PF积最大时， 的值为（ ）21PFA. 0 B. 2 C. 4 D. 24已知椭圆 （ 1）的两个焦点为 、 ，P 为椭圆上一点，2yaxa1F2且 ，则 的值为（ ）6021PF|21PFA1 B C D334325. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴， 、 为焦点，点 P 在椭圆上，1F2直线 与 倾斜角的差为 ， 的面积是 20，离心率为 ，1PF29021P35求椭圆的标准方程.6 212,:1,84xyC是 椭 圆 的 焦 点 的 个 数
5、 为 ？的 点上 满 足在 PFC21A. 0 B. 1 C. 3 D. 47 椭圆 的焦点为 、 ，点 为其上的动点，当 为钝角时，点 P 横29xyF2P12坐标的取值范围是 。8 已知椭圆的两个焦点为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若 为等12 12F腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 2219 已知ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个4x焦点在 BC 边上,则ABC 的周长是 .10设 F1,F2是椭圆 + =1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上,若MF 1F2是225216直角三角形,则MF 1F2的面积等于( )(A) (B) (C) 或 16 (D) 或 16485 365 365 485变式 设 F1,F2是椭圆 的左、右焦点,点 M 在椭圆上,若1462yxMF1F2是直角三角形,则MF 1F2的面积等于？
