1、 数学高三专题系列之 椭圆练习题 3例 1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的 2 倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当 为长轴端点时， ， ， a1b椭圆的标准方程为： ；142yx（2）当 为短轴端点时， ， ，0，Ab4a椭圆的标准方程为： ；1642yx说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，312ca2ac e说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比二是列含 和 的齐次方程，
2、acac再化含 的方程，解方程即可例 3 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率x01yxABMAO为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为 ，12ya由 ，得 ，102yax022x ， ，21aM 21ayM， ，42xykO2 为所求142yx说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题例 4 椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的距离成等差数列1952yx1yxA， 594，B2yxC， 04，F（1）求证 ；821（2）若线段 的垂
3、直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 CxTk证明：（1）由椭圆方程知 ， ， 5a3b4c由圆锥曲线的统一定义知： ，xcAF12 154exaAF同理 2C ，且 ，B9F ，5184521x即 821x（2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为AC241y，2211xyy又点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得Tx0，2104y又点 ， 都在椭圆上，1xA， xB， 21259y22x 21115xy将此式代入，并利用 的结论得821x53640x 90xkBT例 5 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离 是1342yxF2 MlMN与
4、 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由1MF2 M解：假设 存在，设 ，由已知条件得1yx， ， ， a3bc2e左准线 的方程是 ，l4 14xMN又由焦半径公式知：，1112eaF2x ，21MFN 11214xx整理得 083512x解之得 或 4152另一方面 2x则与矛盾，所以满足条件的点 不存在M说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算进而根据推理得到的结果，再作判断（3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成） sin3co2，例 6 已知椭圆 ，求过点 且
5、被 平分的弦所在的直线方程12yx21，P分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 kk解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 代入椭圆方程，并整理得k21xy0231221xkx由韦达定理得 21k 是弦中点， 故得 P21x21所以所求直线方程为 034y分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜率： 1x， 2y， 1x21y2 21xy解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得21，P1A， 2B，1.22121yxyx， ，得 0212y将、代入得 ，即直线的斜率为 21x21所求直线方程为 034y说明：（1）有关弦中点的问
6、题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹（2）解法二是“点差法” ，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法” 有关二次曲线问题也适用例 7 求适合条件的椭圆的标准方程（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 ；62，（2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6x分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ， ，在得方程12byax482a372b后，不能依此写出另一方程 37482yx 137482xy解：（1）设椭圆的标准方程为 或 2ba2ba由已
7、知 ba2又过点 ，因此有6，或 12ba12ba由、，得 ， 或 ， 故所求的方程为4837252a13b或 137482yx152x（2）设方程为 由已知， ， ，所以 故所求方程为 2bya3cb182a1982yx说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数” 关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 12yx12x例 8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当 为最小值时，求点 的126yxF31，AMMFA2M坐标分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得最小值一般地，求2e均可用此法MFeA1解：由已知： ， 所以 ，右准线 4
8、ac1e8xl：过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故 显然lQMFQ2的最小值为 ，即 为所求点，因此 ，且 在椭圆上故 所以MFA2AQM3My 32Mx3，说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理事实上，如图， ，即 是 到右准线F 21eF的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值QA例 9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值132yx06yx分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的距离为.sinco3y， sinco3，26i26sico
9、3d当 时， 13sin最 小 值d说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程例 10 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离x23e230，P是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标7P7分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大值时，要注意讨论 的db取值范围此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定12byax0ba
10、由 可得2221bace，即 4312aba设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则yx， Pd49312322 ybyayxd4942b其中 y如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值21bb2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾372137b因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值21b21yd由题设得 ，可得 ， 347ba所求椭圆方程是 12yx由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点 的距离是 21y 213， 213， 30，P7解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定， ， 为参sincobyaxba2数由 可得2221abace，即 4312b设椭圆上的点
11、 到点 的距离为 ，则yx， 20，Pd222 3sinco3bad49isin422b31i322b如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值1b1sin2d由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有 成立2237b2137bb12b于是当 时 （从而 ）有最大值1sin2d由题设知 ， ， 3472b1a所求椭圆的参数方程是 sinco2yx由 ， ，可得椭圆上的是 ， 21sin23cos213， ，例 11 设 ， ， ，求 的最大值和最小值xRyxyx62xy2分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一致设 ，632 mxy22显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考
12、虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由 ，得xyx63221249可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（ 0，0）点和（3，0）点03， x设 ，则mxy2211它表示一个圆，其圆心为（1，0）半径为 1m在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，1m此时 ；当圆过（ 3，0）点时，半径最大，即 ， m45 的最小值为 0，最大值为 15xy22例 12 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点012bayxC： AB（1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化， FPab120APB（2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求
13、 的离心率 的取值范围Q120Ce分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率ABQ入手本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ，e ax，根据 得到 ，将 代入，消去 ，用 、 、 表示 ，by120AQB322ayx 22ybaxxabcy以便利用 列出不等式这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成解：（1）设 ， ， 0，cF，0，BabcPayxb222，于是 ， ckAPkBP 是 到 的角 224221tancacab 2c tanAPB故 3120APB（2）设 ，则 ， yxQ， axykQA
14、axykQB由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角0A 2221tanayxayxB ， 0AQ322整理得 032ayyx 22ba 0132y ， 0y23cab ， b2，23ca234ca ，04044e 或 （舍） ， 2e136例 13 已知椭圆 的离心率 ，求 的值1982ykx2ek分析：分两种情况进行讨论解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 由 ，得 x82a92b12kc2e4k当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 y9k由 ，得 ，即 21e419k5满足条件的 或 说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为 与 9 的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 轴上，8k x
