1、一线三等角问题一、问题引入如图， 中， ， ，过 D 作 交 BC 延长线与 E。ABC90CAEAB求证：ABCCED B EA DC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）ABDCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角例 1、 如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD =2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作 ，射线 EF 交线段 AC 于 FEFB（1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如
2、果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长FBACDEBACD（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。变式练习 1 就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是 DF 与底边平行，一种是 E 为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习 1 （浦东新区 22 题）如图，已知等边 的边长为 8，点 、 、 分别在边 、 、 上，ABCDFEABC， 为
3、中3BDE点，当 与 相似时，求 的值.PP变式练习 2（宝山 22 题）如图 6，已知 中， ,点 、 在边 上，满足 = .求证：ABCEFBCEAFC；BFE FE CB A（图 6）（2）等腰梯形中一线三等角例 2.（长宁区 18 题）如图，等腰梯形 中，ABCD ， ， ， ，直角三角板含 45 度角的顶点 在边ADBC2445 E上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 .若 为等腰三角形，则FAB的长等于 .F(备用图)例 3（徐汇区 25） 如图，在梯形 中， ，ABCDB， 点 为边 的中点，以 为顶点作6ABCD3MM，射线 交腰 于点 ，射线 交腰 于点 ，联结EMF
4、EFCD（1）求证： ；（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；E（3）若 ，求 的长B例 4、 （杨浦区基础考）四边形 中， ， ，ABCDB09AC， 点 为射线 上动点（不与点 、 重合） ，点 在直线3ABDC5PE上，且 记 ， ， ， E12EPxy（1）当点 在线段 上时，写出并证明 与 的数量关系；P（2）随着点 的运动， （1）中得到的关于 与 的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的 的取值范围；（3）若 cos = ，试用 的代数式表示 3xy第18第E FDCBA（3）坐标系中一线三等角例 5 （金山区 2
5、4）如图，住平面直角系中，直线 ： 分别交 轴、AB40yxax轴于 、 两点，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点， 是 轴上的一点，yBAExED，过 作 轴交 于 ，连接 ，当动点 在线段 上运动（不ODCCO与点 点 重合）且 时B(1)求证： ；(2)求线段 的长（用 的代数式表示） ；a(3)若直线 的方程是 ，求 的值AE136yxbtanBA变式练习 3、在平面直角坐标系 XOY 中， 的位置如图所示，已知AOB,点 A 的坐标为006,9AOB1,3（1） 求点 B 的坐标；（2） 若抛物线 经过 A、O、B 三点，求函数解析式。cbxay2（4）矩形中一线三等角例 6、 （长
6、宁区 24 题） 如图，在矩形 中， ， ，点 是射线 上ABCD46APDA的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点 ，三角板两直角中的一边始终经过点 ，另PC一直角边交射线 于点 BAE（1）判断 与 一定相似吗？请证明你的结论；P（2）设 ， ，求 与 的函数关系式，并写出它的定义域；Dxyx（3）是否存在这样的点 ，是 周长等于 周长的 2 倍？若存在，请求出ADC的长度；若不存在，请简要说明理由一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目（徐汇 24）如图，等腰梯形 中， ， =2， =8，ABCDB 5,ADCBCMENB的顶点 在边 上移动，一条边始终经过点 ，另一边与 交于点 ，联接FAF（1）设 ，试建立 关于 的函数关系式，并写出函数定义域； yDFx, x（2）若 为等腰三角形，求出 的长AE BEEP DCBANMDFE CBADCBA备用图（虹口期中 24）梯形 ABCD,ADBC,AB=CD=5，AD=3.5，sinB= ,E 在 AB 边上，BE=3，P45是 BC 上动点，联结 EP 做 EPF=B.射线 PF 与 AD 边交于 F，与 CD 的延长线交于 G，设BP=x，DF=y（1）求 BC 的长。（2）求 y 与 x 的函数关系式及其定义域。（3）联结 EF，如果PEF 是等腰三角形，求 BP 的长。
