1、圆周运动的综合应用编稿：董炳伦 责编：周建勋目标认知学习目标1、能够根据圆周运动的规律，熟练地运用动力学的基本方法解决圆周运动问题；2、学会分析圆周运动的临界状态的方法，理解临界状态并利用临界状态解决圆周运动问题；3、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离心运动。重点难点1、将前面学习过的力学中解决问题的基本方法，顺利地迁移到圆周运动中来，熟练地解决圆周运动问题；2、理解临界状态，用动态分析的方法发现圆周运动过程中的临界状态，并将临界条件表示出来；3、理解向心力的来源，弄清实际的向心力和需要的向心力之间的大小关系决定着物体的运动情况。知识要点梳
2、理知识点一：静摩擦力提供向心力的圆周运动的临界状态要点诠释：1、水平面上的匀速圆周运动，静摩擦力的大小和方向物体在做匀速圆周运动的过程中，物体的线速度大小不变，它受到的切线方向的力必定为零，提供向心力的静摩擦力一定沿着半径指向圆心。这个静摩擦力的大小，它正比于物体的质量、半径和角速度的平方。当物体的转速大到一定的程度时，静摩擦力达到最大值，若再增大角速度，静摩擦力不足以提供物体做圆周运动所需要的向心力，物体在滑动摩擦力的作用下做离心运动。临界状态：物体恰好要相对滑动，静摩擦力达到最大值的状态。此时物体的角速度（ 为最大静摩擦因数），可见临界角速度与物体质量无关，与它到转轴的距离有关。2、水平面
3、上的变速圆周运动中的静摩擦力的大小和方向无论是加速圆周运动还是减速圆周运动，静摩擦力都不再沿着半径指向圆心，静摩擦力一定存在着一个切向分量改变速度的大小。如图是在水平圆盘上的物体减速和加速转动时静摩擦力的方向：（为了便于观察，将图像画成俯视图）知识点二：竖直面上的圆周运动的临界状态要点诠释：1、汽车过拱形桥在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般比较方便，这里不再详述。对于变速圆周运动，需要特别注意几种具体情况下的临界状态。例如：汽车通过半圆的拱形桥，讨论桥面受到压力的变化情况。（1）车在最高点的位置时对桥面的压力对车由牛顿第二定律得： 为了驾驶
4、安全，桥面对车的支持力必须大于零，即所以车的速度应满足关系临界状态：汽车在最高点处桥面对汽车的支持力为零，此时汽车的速度 。问题讨论：如果 ，在不计空气阻力的情况下，车将如何运动？解析：在此条件下，汽车只受到重力的作用，速度沿着水平方向，满足平抛运动的条件，所以从此位置开始，汽车将离开桥面做平抛运动，不会再落到桥面上。（2）汽车沿着拱形桥面向下运动时车对于桥面的压力当汽车在跨越最高点后的某一位置时由牛顿第二定律得解得汽车对于桥面压力的大小可见在汽车速度大小不变的情况下，随着角 的不断减小，汽车对桥面的压力不断减小。临界状态：当 时，汽车对桥面的压力减小到零。从此汽车离开桥面做斜下抛运动。所以要
5、使得汽车沿着斜面运动，其速度必须满足： ，即车的速度。2、细线约束的小球在竖直面上的变速圆周运动例如用长为 R 的细绳拴着质量是 m 的物体，在竖直平面内做圆周运动。在最高点处，设绳子上的拉力为 T根据牛顿第二定律列方程得：由于绳子提供的只能是拉力，所以小球要通过最高点，它的速度值 。临界状态：在最高点处，当只有重力提供向心力时，物体在竖直面内做圆周运动的最小速度是若在最高点处物体的速度小于 这个临界速度，便不能做圆周运动。事实上，物体早在到达最高点之前，就已经脱离了圆周运动的轨道，做斜上抛运动。3、轻杆约束小球在竖直面上的变速圆周运动再如一根长度为 R 轻质杆一端固定，另一端连接一质量为 m
6、 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动。在最高点，设杆对球的作用力为 FN，规定向下的方向为正方向，根据牛顿第二定律列方程得：因为杆既可以提供拉力，又可以提供支持力，所以可以 。当 时，杆对球提供向上的支持力，与重力的方向相反；当 时，这与绳子约束小球的情况是一样的。所以轻杆约束的情况可以存在两个临界状态：在最高点处的速度为零，小球恰好能在竖直面内做圆周运动，此时杆对小球提供支持力；小球要完成竖直面内的圆周运动，在最高点处速度可接近于零，这是与用细线约束小球在竖直面内做圆周运动的不同之处。在最高点处的速度是 时，轻杆对小球的作用力为零，只由重力提供向心力。球的速度大于这个速度时，杆对球提供拉力；
7、球的速度小于这个速度时，杆对球提供支持力。知识点三：关于离心现象的深入讨论要点诠释：1、外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动离心运动；外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动也可称之为向心运动。2、对一个典型的离心现象的解释（1）离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。（2）向心力的来源：如图所示，将试管中的
8、小颗粒放大并看成是一个小液柱，当试管绕着轴高速转动时，小颗粒两端受到的液体的压力便不相同，远离转轴的一端受到液体的压力是 F2，靠近转轴的一端液体对颗粒的压力是 F1，F 2F1，这两个力的差为颗粒做圆周运动提供向心力。（3）离心或者向心现象的成因及解释：设柱体绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动的角速度是 ，半径是 R，颗粒的质量是m。若颗粒的密度与液体的密度相同，则颗粒可以用同体积的液柱代替，在此情况下无论角速度多大，显然，液柱既不会向心运动，也不会离心运动（尽管试管高速转动，但颗粒相对于试管不动）。由牛顿第二定律有：若颗粒的密度比液体的密度大（如沙石等），它在试管的相同位置处做圆周运动时，所
9、受到的向心力仍然是颗粒两个断面的压力差 ，但是它需要的向心力却变为，其中 是大密度颗粒的质量，因为 ，所以 ，必有，外力提供的向心力小于大密度颗粒做圆周运动所需要的向心力，做离心运动，达到快速沉积的目的。若颗粒的密度比液体的密度小（如草木颗粒等），它在试管的相同位置处做圆周运动时，所受到的向心力仍然是颗粒两个断面的压力差 ，但是它需要的向心力却变为 ，其中 是小密度颗粒的质量，因为 ，所以 ，必有，外力提供的向心力大于小密度颗粒做圆周运动所需要的向心力，做向心运动，达到快速分离的目的。规律方法指导1、 熟记向心力的各种公式：及如何选择公式。这些公式不仅适用于匀速圆周运动中，对变速圆周运动同样适
10、用，只不过在变速圆周运动中，由于线速度 v 的大小不断变化，所以向心力也不断变化。 2、处理圆周运动的动力学问题时，应注意的问题（1）确定向心力的来源向心力是根据力的效果命名的，在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体的相互作用力（重力、弹力、摩擦力等）以外再添加一个向心力。（2）确定研究对象的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向。例如，沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图所示，小球做圆周运动的圆心在与小球同一水平面上的 O点，而不是在球心 O，也不在弹力 FN所指的 PO 线上。（3）物体在静摩擦力作用下做匀速圆周运动时，相对滑动的临界条件是恰好达到最大静
11、摩擦力。（4）物体在不同支承物（绳、杆、轨道、管道等）作用下，在竖直平面做圆周运动，通过最高点时的临界条件。轻绳模型如图所示没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv 2/Rv 临界 = （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）能过最高点的条件：v ，当 v 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。不能过最高点的条件：vv 临界 （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）轻杆模型（2）如图（a）的球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，
12、管壁支撑情况与杆一样。当 v0 时，Nmg，（N 为支持力）当 0v 时， N 随 v 增大而减小，且 mgN0，N 为支持力。当 v= 时，N0，当 v 时，N 为拉力，N 随 v 的增大而增大。若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力。典型例题透析类型一水平圆周运动的临界问题1、如图所示，细绳的一端系一小球，另一端悬于光滑的水平面上方 h 处(h 小于绳长)，球在水平面上以转速 n 做匀速圆周运动，求水平面受到的压力多大？要使球离开水平面，转速 n 的值至少为多大？思路点拨：将此问题看成是一般的动力学问题，其加速度是向心加速度，按照解决动力学问题的一般方法，
13、可以将问题解决。解析：本题属于圆锥摆问题，物体的运动轨迹在水平面上。对球受力分析并进行正交分解，如图所示：由牛顿第二定律得由式得若要使得球离开平面，则 ，有所以总结升华：球恰好离开平面是一种临界状态，出现此临界状态的条件是球和平面的作用力为零。分析临界条件是解决综合性问题的重要环节。类型二竖直圆周运动的临界问题2、如图质量不计的轻杆长为 ，一端拴一个质量为 m 的小球，以它的另一端 O为轴使杆在竖直平面内做匀速圆周运动，角速度为 ，试分别计算球在最低点 A 和最高点 B 时，球对杆的作用力各是多少？解析：在最低点 A 处，轻杆对球产生拉力 FA，由牛顿第二定律得 ，再由牛顿第三定律得球对杆的拉
14、力 在最高点 B 处，杆对球的作用力为 FB，规定向下的方向为正方向，由牛顿第二定律得，可见：3、 在倾角 的光滑斜面上，有一长 L0.8m 的细绳，一端固定在 O 点，另一端拴一个质量 m0.2kg 的小球，使小球在斜面上做圆周运动，取 g=10m/s2，求：（1）小球通过最高点时的最小速度 ？（2）如果细绳受到 10N 的拉力就会断，则通过最低点 B 时的最大速度 ？思路点拨：这是一个竖直面上变速圆周运动问题的变式问题，要注意找出和竖直面上的变速圆周运动的共同之处和不同之处，要特别重视分析问题方法的迁移。解析：小球在垂直于斜面的方向上处于平衡状态，在平行于斜面的平面内的运动情况和竖直平面内
15、用细绳约束小球的运动情况类似。（1）小球通过最高点 A 的最小速度，出现在绳子上拉力等于零的时候，此时重力的下滑分量提供向心力，在 A 点平行于斜面的方向上，由牛顿第二定律得：解得（2）在 B 点绳子恰好被拉断时，在平行于斜面的方向上，由牛顿第二定律得：解得总结升华：用细绳约束在斜面上的变速圆周运动和竖直面上的变速圆周运动，解决问题的方式是完全相同的，不同之处是：在斜面上时只有重力的下滑分量对变速圆周运动有贡献。拓展深化如图所示，轻杆 AB 长 1m，两端各连接质量为 1kg 的小球，杆可以绕距 B 端 0.2m 处的O 轴在竖直平面内转动。设 A 球转到最低点时速度是 4m/s，求此时 B 球的运动速度的大小和杆对 O 轴的作用力的大小和方向？思路点拨：用轻杆约束物体在竖直面上做圆周运动时，要注意到物体受到的力可以是拉力，也可以是压力，还可能是零。要重视临界状态的分析。
