1、第 1 课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转至另一个位置所成的图形Error!2角 的分 类(3)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：S|k360 ，kZ 或|2k ，kZ 2弧度制(1)1 弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角(2)角 的弧度数如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角 的弧度数的绝对值是| .lr(3)角度与弧度的换算180rad；1 rad；1 rad .180 (180)(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径
2、为 r，则 l| r，扇形的面积为 Slr |r2.12 123任意角的三角函数(1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y )，那么 sin y，cos x，tan (x0)yx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT 分别叫做角 的正弦线，余弦线和 正切线(3)三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦4判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)第一象限角一定是锐角()(2)不相等的角终边一定不相同()(3)终边落在 x
3、轴非正半轴上的角可表示为 2 k(kZ)()(4)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位( )(5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(6) 为第一象限角，则 sin cos 1.( )(7)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .()3(8)角 的三角函数值与终边上点 P 的位置无关()(9)若 sin 0，则 的终边在第一象限或第二象限()(10) ，则 tan sin .()(0，2)考点一 终边相同的角和象限角命题点1.写出终边相同的角2.判断角所在的象限例 1 (1)在7200范围内找出所有与 45终边相同的角为_解析：所有与 45有相同终边的
4、角可表示为： 45k 360(kZ)，则令720 45k 3600，得765k360 45，解得 k ，765360 45360从而 k2 或 k1，代入得 675或 315.答案：675 或315(2)设 是第三象限角，且 cos ，则 是( )|cos2| 2 2A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：若 是第三象限角，即 ，kZ(2k ，2k 32) ，k Z.2 (k 2，k 34)当 k 为偶数(0,2，)时， 在第二象限，2当 k 为奇数(1,3，)时， 在第四象限，2又 cos ，|cos2| 2cos 0， 为第二象限2 2答案：B方法引航 1利用终边相同的角的集合可
5、以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.2利用终边相同的角的集合 S|2k ，k Z判断一个角 所在的象限时，只需把这个角写成 0，2 范围内的一个角 与 2 的整数倍的和，然后判断角 的象限.,3 象限角用终边相同的角的形式作为边界来表示，讨论 k 的取值来确定其它角所在象限.1终边在直线 y x 上的角的集合是_3解析：(1)在 (0，)内终边在直线 y x 上的角是 ，33终边在直线 y x 上的角的集合为 | k，k Z 33答案： | k ，kZ32若 k18045(kZ)，则 在( )A第一或第三象限 B第一或
6、第二象限C第二或第四象限 D第三或第四象限解析：选 A.当 k2n(nZ)时，n36045，所以 在第一象限当 k2n1(nZ)时，n360225，所以 在第三象限综上可知， 在第一或第三象限考点二 三角函数的定义命题点1.已知角终边上点的坐标求三角函数值2.已知三角函数值求点的坐标3.已知三角函数值判断角所在象限例 2 (1)如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 A，点 A 的纵坐标为 ，则 cos _.45解析：因为 A 点纵坐标 yA ，且 A 点在第二象限，又因为圆 O 为单位圆，所以45A 点横坐标 xA ，由三角函数的定义可得 cos .35 35答案：
7、35(2)已知 是第二象限角，设点 P(x， )是 终边上一点，且 cos x，求 4cos524 3tan 的值( 2)解：r ，cos ，从而5 x2xx2 5x ，解得 x0 或 x .24 xx2 5 3又 是第二象限角，则 x ，r2 .3 2sin ，tan .522 104 5 3 153因此 4cos 3tan 4sin 3tan ( 2)4 3 .104 ( 153) 15 10(3)已知 sin 0，cos 0，则 所在的象限是( )12A第一象限 B第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：因为 sin 0，cos 0，所以 为第二象限角，即2k 2k ，kZ，则
8、k k，kZ.当 k 为偶数时， 为第2 4 12 2 12一象限角；当 k 为奇数时， 为第三象限角，故选 C.12答案：C方法引航 定义法求三角函数值的两种情况1已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后利用三角函数的定义求解.2已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角 的三角函数值 .1角 的终边过点 P(1,2)，则 sin 等于( )A. B.55 255C D55 255解析：选 B.由三角函数的定义，得 sin .2 12 22 255
9、2点 P 从(1,0) 出发，沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标23为( )A. B.( 12，32) ( 32， 12)C. D.( 12， 32) ( 32，12)解析：选 A.xcos ，ysin .23 12 23 323若 是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )Asin cos 0 Btan sin 0Ccos tan 0 Dtan sin 0解析：选 B.在第三象限，sin 0，cos 0，tan 0，则可排除 A、C、D ，故选 B.考点三 扇形的弧长及面积命题点1.求扇形的弧长或面积2.求扇形的圆心角或半径例 3 已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧
10、长为 l.(1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长 l；(2)若 ，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积3解：(1)60 ，l10 (cm)3 3 103(2)设弓形面积为 S 弓 由题知 l cm，23S 弓 S 扇形 S 三角形 2 22sin (cm)2.12 23 12 3 (23 3)方法引航 1求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.2在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形.3应用上述公式时，角度应统一用弧度制表示.1在本例(1)中，R10 cm 改为弧长 l10 cm，求扇形的半径 R 和面积 S.解：60 ，l R，即 10
11、 R3 3R cm.30S lR 10 cm2.12 12 30 1502若本例(2)改为在半径为 10 cm，面积为 100 cm2的扇形中，弧所对的圆心角为( )A2 B2C2 D10解析：选 A.由扇形的面积公式 S r2 可得12100 102，解得 2.12考点四 三角函数线及应用命题点1.利用三角函数线解三角方程2.利用三角函数线解三角不等式例 4 (1)若 (0,2) ，sin ，则 _.32解析：如图， 的终边与单位圆的交点的纵坐标 y ，即 A ，B .32 (12，32) ( 12，32)xOA ，或 xOB .3 23答案： 或 3 23(2)函数 y 的定义域是_ si
12、n x12 cos x解析：由题意知Error!即Error!x 的取值范围为 2k x2k ，kZ.3答案： (kZ.)3 2k， 2k方 法 引 航 利 用 单 位 圆 解 三 角 不 等 式 组 的 一 般 步 骤 ：1用 边 界 值 定 出 角 的 终 边 位 置 ；2根 据 不 等 式 组 定 出 角 的 范 围 ；3求 交 集 ，找 单 位 圆 中 公 共 的 部 分 ；4写 出 角 的 表 达 式 .满足 sin 的 的集合为_32解析：作直线 y 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的32区域(图中阴影部分) 即为角 的终边的范围，故满足条件的角 的集合为Error!.答案：Error!易错警示错用角的终边概念典例 已知角 的终边上一点 P(3a,4a)(a0)，则 sin _.正解 x3a，y 4a， r 5|a|.3a2 4a2(1)当 a0 时， r5a，sin .yr 45
