1、1相似三角形动点问题一选择题（共 1 小题）1如图，小正方形的边长均为 1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55 的方格中，作格点三角形和 ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（ ）A0.5，2.5 B0.5，5 C1，2.5 D1，5二填空题（共 10 小题）2 （2013平顶山三模）如图，P 是 RtABC 斜边 AB 上的动点（P 异于 A、B） ，C=90， B=30，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，当 = _ 时，截得的三角形面积为ABC 面积的 3如图，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 边上的动点
2、，N 在 CO 上，且 ，若 AB=1，设 BM=x，当 x= _ 时，以 A、B、M 为顶点的三角形和以 N、C、M 为顶点的三角形相似4平面直角坐标系中，已知点 O（0，0） 、A （0，2） 、B（1，0） ，点 P 是反比例函数 图象上的一个动点，过点 P 作 PQx 轴，垂足为点 Q若以点 O、P、Q 为顶点的三角形与 OAB 相似，则点 P 的坐标是 _ 黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:39773733125如图，点 A 的坐标为（1 ，1） ，点 C 是线段 OA 上的一个动点（不运动至 O，A 两点） ，过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，以 CD 为边在右侧作正方形 C
3、DEF连接 AF 并延长交 x 轴的正半轴于点 B，连接 OF，若以 B，E，F为顶点的三角形与OFE 相似， B 点的坐标是 _ 6 （2012泉州）在 ABC 中， P 是 AB 上的动点（P 异于 A、B ） ，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P（l x） （x 为自然数） （1）如图，A=90，B=C，当 BP=2PA 时，P （l 1） 、P（l 2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中l1BC，l 2AC） ，此外，还有 _ 条；（2）如图，C=90 ，B=30，当 = _ 时，P（l x）截得的三
4、角形面积为 ABC 面积的 7以图中的格点为顶点，画一个与已知ABC 相似的三角形（相似比不为 1） 8如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与坐标轴交于 A、B 、C 三点，A 点的坐标为（ 1，0） ，过点 C 的直线与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作 PH 垂直 OB 于点 H，若 PB=5t，且0t1，存在使 P，H ，Q 为顶点的三角形与三角形 COQ 相似的 t 的值有 _ 黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:39773733139 （2004枣庄）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形在如图 55 的方格纸中，以
5、 A、B 为顶点作格点三角形与OAB 相似（相似比不能为 1） ，则另一个顶点 C 的坐标为 _ 10 （2006荆门）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图 55的方格中，作格点ABC 和 OAB 相似（相似比不为 1） ，则点 C 的坐标是 _ 11如图，在钝角三角形 ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm，动点 D 从 A 点出发到 B 点止，动点 E 从 C 点出发到 A点止点 D 运动的速度为 1cm/秒，点 E 运动的速度为 2cm/秒如果两点同时运动，那么当以点 A、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动的时间是 _ 三解答题（共
6、19 小题）12如图，在ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm，动点 M 从点 A 出发，以 1cm秒的速度向点 B 运动，动点 N 从点C 出发，以 2cm秒的速度向点 A 运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻 t，使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由13在如图所附的格点图中画出两个相似的三角形黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331414在如图的正方形网格中有一个格点三角形 ABC请在图中画一个与ABC 相似且相似比不等于 1 的格点三角形，并写出它们的相似比15 （2003绍兴）已知 AOB=90，OM 是
7、AOB 的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与边 OA，OB 交于点 C，D 在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点 G 是 CD 与 OP 的交点，且 PG= PD，求POD 与PDG 的面积之比；（2）将三角板的直角顶点 P 在射线 OM 上移动，一直角边与边 OB 交于点 D，OD=1，另一直角边与直线 OA，直线 OB 分别交于点 C，E，使以 P，D，E 为顶点的三角形与OCD 相似，在图丙中作出图形，试求 OP 的长黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331516 （2012镇江模拟）如图，矩形 ABCD 中，
8、AB=6cm，AD=3cm，CE=2cm，动点 P 从 A 出发以每秒 2cm 的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 也从点 A 出发以每秒 1cm 的速度向终点 E 运动设运动的时间为 t 秒解答下列问题：（1）当 0t3 时，以 A、P、Q 为顶点的三角形能与ADE 相似吗？（不必说理由）（2）连接 DQ，试求当 t 为何值时？ ADQ 为等腰三角形（3）求 t 为何值时？直线 PQ 平分矩形 ABCD 的面积17已知：Rt OAB 在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为 OB 的中点，点 C 为折线 OAB 上的动点，线段 PC 把 RtOAB 分割成两部分在图上画出所有线段 PC
9、，使分割得到的三角形与 RtOAB 相似，并直接写出点C 的坐标18在ABC 中， C=90（1）如图 1，P 是 AC 上的点，过点 P 作直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC 相似例如：过点 P 作 PDBC交 AB 于 D，则截得的ADP 与 ABC 相似请你在图中画出所有满足条件的直线（2）如图 2，Q 是 BC 上异于点 B，C 的动点，过点 Q 作直线截 ABC，使截得的三角形与ABC 相似，直接写出满足条件的直线的条数 （不要求画出具体的直线） 黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331619 （2006肇庆）如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=
10、6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由20如图是一个 1010 格点正方形组成的网格 ABC 是格点三角形（顶点在网格交点处） ，请你完成下面问题，在图中画出与ABC 相似的格点 A1B1C1 和A 2B2C2，且A 1B1C1 与ABC 的相似比是 2，A 2B2C2 与
11、ABC 的相似比是 21 （2006防城港）在 ABC 中，ACB=90，O 为 AC 上的动点（1）当 OA= AC 时，以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆与 AB 交于 D，连接 CD（如图） ，则图中相似的三角形有 _ ；（2）当 OA 满足 ACOAAC 时，以 O 为圆心，OA 的长为半径的圆交 AB 于 D，交 AC 的延长线于 E（如图）请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字母） ，并加以证明；若O 的半径为 5，AD=8，求 tanB黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331722已知：如图，把矩形 OCBA 放
12、置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取 AB 的中点 M，连结 MC，把MBC 沿x 轴的负方向平移 OC 的长度后得到DAO（1）直接写出点 D 的坐标；（2）已知点 B 与点 D 在经过原点的抛物线上，点 P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点 P 作 PQx 轴于点Q，连结 OP若以 O、P 、Q 为顶点的三角形与 DAO 相似，试求出点 P 的坐标23RtABC 中， C=90， AC=6 厘米，BC=8 厘米，动点 P 从点 A 开始在线段 AC 上以 1 厘米/秒的速度向点 C移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以 2 厘米/秒的速度向点 A 移动，当一个动点先运动
13、到终点时，整个运动过程结束设点 P、Q 移动的时间为 t 秒（1）设APQ 的面积为 y（厘米 2） ，请你求出 y 与 t 的函数关系式，写出自变量 t 的取值范围，并求出当 t 为何值时，APQ 的面积最大；（2）在整个运动过程中，是否会存在以点 A、P 、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，请你求出此时 t 的值；若不存在，请你说明理由24已知：如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1 个单位，请在图中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于 1 的格点三角形黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331825如图，在正方形网格上有若干个三角形，找出与ABC 相似的三角形
14、26如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点 M 从点 A 出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向点 B 匀速运动；同时，动点 N 从点 D 沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向点 A 匀速运动（1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？（2）是否存在时刻 t，使 A、M、N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由27如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2 ，BC=10 ，对角线 AC=4，动点 E 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度向点C 运动，运动时间为 t（s） （0t 5） 那么
15、当 t 为何值时，以 A、E、C 为顶点的三角形与ADC 相似28如图，在 RtABC 中， C=90，AC=4cm ，BC=3cm动点 M 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度沿 AC 向终点C 移动，同时动点 P 从点 B 出发，以每秒 2cm 的速度沿 BA 向终点 A 移动，连接 PM，设移动时间为 t（单位：秒，0t2.5） 当 t 为何值时，以 A，P，M 为顶点的三角形与 ABC 相似？黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331929已知：如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 A（6，0） ， BAO=30（1）求点 B 的坐
16、标；（2）点 P 是线段 AB 上的动点，若使POA 为等腰三角形，求点 P 的坐标；（3）在第一象限内是否存在点 Q，使得以 Q、O、B 为顶点的三角形与OAB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由30 （2013黔西南州）如图，已知抛物线经过 A（2，0） ，B（ 3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的函数解析式（2）设点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 AO 为边的四边形 AODE 是平行四边形，求点 D 的坐标（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P，M，A 为顶点
17、的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由黄曦 九年级相似三角形动点问题QQ:397737331102014 年 1 月 Sissi 的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1如图，小正方形的边长均为 1，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形在如图55 的方格中，作格点三角形和 ABC 相似，则所作的格点三角形中，最小面积和最大面积分别为（ ）A0.5，2.5 B0.5，5 C1，2.5 D1，5考点：相似三角形的性质；勾股定理716358 专题：网格型分析：作出面积最小和面积最大的格点三角形，因为相似三角形的面积比等于相似比
18、的平方，所以此题只要求得两三角形的一组对应边的比即可根据格点三角形边长的求解方法，易得 AB，DE 与 GH 的长即可得出问题的解解答：解：如图所示，DEF 和GHI 分别是面积最小和面积最大的三角形因为DEF，GHI 和ABC 都相似，AB= ，DE=1，GH= ，所以它们的相似比为 DE：AB=1： ，GH：AB= ： ，又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，而ABC 的面积为 21=1，故DEF 和 GHI 面积分别为 0.5，5故选 B点评：此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方解此题还要注意格点三角形边长的求解方法：用勾股定理求解二填空题（共 10 小题）2 （2013平顶山三模）如图，P 是 RtABC 斜边 AB 上的动点（P 异于 A、B） ，C=90， B=30，过点 P 的直线截ABC，使截得的三角形与 ABC 相似，当 = 或 或 时，截得的三角形面积为ABC 面积的
