1、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理（1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 sinCDaB, 。sinbA由此，得 iiA， 同理可得 isincbCB， 故有 siisic.从而这个结论在锐角三角形中成立 .（2）当 ABC 是钝角三角形时，过点 C 作 AB 边上的高，交 AB 的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有 sinsiDaAC， 。sinDbA由此，得 siniabAB， 同理可得 iicbB故有 iiCsinc.由(1)(2)可知，在 ABC 中， iiabAsincC 成立 .从而得到：在一个三角形中，各边
2、和它所对角的正弦的比值相等，即siniabABsinc.1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点 A，点 B 之间的距AB|，可测量角 A 与角 B，需要定位点 C，即：在如图ABC 中，已知角 A，角 B，AB c ，求边 AC 的长 b解：过 C 作 CDAB 交 AB 于 D，则cosADsiniostacoACCsi(sincsico)sinACBbCA 推论： sinicB同理可证： isiinabcACabDA BCA BCDb a2.利用三角形面积证明正弦定理已知ABC,设 BCa, CAb,AB c, 作 ADBC,垂足为 D.则 RtADB 中,AD
3、=ABsinB=csinB.ABDsinS ABC = .同理,可证 SABC = .Bacsin21 AbcCasin21si S ABC = .absinc=bcsinA=acsinB,acAbCsin21i在等式两端同除以 ABC,可得 .即 .bBii Bsinisin3.向量法证明正弦定理(1)ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于 ,则 j 与 的夹角为AC90-A,j 与 的夹角为 90-C.由向量的加法原则可得 ,CB A为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算,得到 Bjj)(由分配律可得 . B A|j| Cos
4、90+|j| Cos(90-C)=|j| Cos(90-A). j ACBasinC=csinA. . A cAasini另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 的夹B角为 90+B,可得 .Bbcsii(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为 j 与 的夹A角为 90-C,j 与 的夹角为 90-B) .ACcBbAasinisinDC BAC(2)ABC 为钝角三角形,不妨设 A90, 过点 A 作与 垂直的单位向量 j,则 jC与 的夹角为 A-90,j 与 的夹角为 90-C.BCB由 ,得 j +j =j , jCB即 aC
5、os(90-C)=cCos(A-90),asinC=csinA. cAasini另外,过点 C 作与 垂直的单位向量 j,则 j 与 的夹角为 90+C,j 与 夹BCAB角为90+ B.同理,可得 . cbsinicBbsimsii4.外接圆证明正弦定理在ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作ABC 的外接圆,O 为圆心,连结 BO 并延长交圆于 B,设 BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB =90，C = B ， sinC=sinB= . .RcB2sini RC2sin同理,可得 . .RBbAa2sin,sibAaiisi这就是说,对于任意的三角形,我们得到等式.CcbiinsiACBA
