1、-1-三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心三条中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；(2)外心三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等工具： 为 内一点，则有：OABC 0 OCSBOASACBC证明：延长 交 于 ，如图必有： ，D|DAB， ； -（*）|BCSOAC |CSOABC由 共线，得：D, 0|D进而得： -|A由 共线，得： -CB, OCBCO|由得： 代入（*）结论AD| 0| D得 OSA
2、BOCOBSAC 0OCSABC消去分母得： 证毕.0A另证：作 ，如图： 为平行四边形；GH/,/ H由 OCSBASAOCOBC )()(ABOAOCAABC )( CSSABABHGABC)(OS0ABCABCDABCODHFEG-2-反方向思考：设 在 的内部，若有正实数 满足： ，OABC321,0321 OCBA必有： AOBCBOSS:321证明：作： ， ， 2 3则 ，0则 为 的重心，A则： .设为 OBACOBSS又 AOBOBA2!13从而得： AOBCBOSSS:21331 验证式思考：先证引理：若 不共线，对 ，有 且 ，必有ba,p0apb.0证明：若 必有 且
3、，得 ，与题设矛盾，故必有.0a/ .0p再证：设 ， ，则 ；BOCA2OB由 )( CSBSAOAOCAOBC2 cos)2sin(1)2cos(sin1sin1 OCAOBAcin)(i2siCBA；0)n(i12 O有对称性知： ，又 ， 不共线，0)( OCSBASAOCBC AOB故：必有 成立O一、三角形的重心的向量表示及应用知识： 是 的重心 GABC )(31G( 为该平面上任意一点)0OCBAO略证： ，得： 1:GABCGBSS 0G变式：已知 分别为 的边 的中点则 DEF、 、 0CFBEAD二、三角形的外心的向量表示及应用知识： 是 的外心OABC 22| OOC
4、CA-3-02sinsi2sinOCBOA略证： ，得：SSOABCOB : 02sinsi OCBA常用结论： 是 的外心 .2| ;2|三、三角形的垂心的向量表示及应用知识： 是 的垂心HABC HACBHA22222 | B0tantatan略证： ，得：CBASSHBCAHB : 0tantaHCA扩展：若 是 的外心，点 满足： ，则 是 的垂心O OHB证明：如图： 为直径， 为垂心， 为外心， 为 中点；EOD有： 为 平 行 四 边 形ACECHAB/进而得到： 且 ，即： ；,/EH又易知： ；OD2故： ，即： ACBAHOCBA又： （ 为重心） ，故： ；GO3GH3故
5、：得到欧拉线： 的外心 ，重心 ，垂心 三点共线(欧拉线)，且 证毕 GH21四、三角形的内心的向量表示及应用知识： 是 的内心IABC 0|0|CBAIACBI0|0|CABIACBI0ICcBbIAa cbaOOI注：式子中 ， 为任一点sinsisin |,|,BcbOADOHCE-4-略证： ，得之CBAcbaSSIABICIB sin:si:五欧拉线： 的外心 ，重心 ，垂心 三点共线(欧拉线)，且 （前已证） OGHGHO21测试题一选择题1 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，OABCP)(ACB,0则点 的轨迹一定通过 的( )PABA外心 B内心 C重心 D垂心2(03
6、全国理 4) 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，)(ABOP,0则点 的轨迹一定通过 的( )A外心 B内心 C重心 D垂心3 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，OCP)coscs(CAR则点 的轨迹一定通过 的( )PAA外心 B内心 C重心 D垂心4 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，)sinsi(BO,0则点 的轨迹一定通过 的( )A外心 B内心 C重心 D垂心5 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，OCP2coscsCACBR则点 的轨迹一定通过 的( ) PABA外心 B内心 C重心 D垂心6 是 所在平面上一定点，动点 满足 ， ，P )21()()1(3O
7、COA *R则点 的轨迹一定通过 的( ) A内心 B垂心 C重心 DAB 边的中点7已知 是 的重心，动点 满足 ,则点 一定为 的( )OC)22(CBOPABAAB 边中线的中点 BAB 边中线的三等分点(非重心)C重心 DAB 边的中点8在 中，动点 满足： ，则 点轨迹一定通过ABC 的( ) B PPA2外心 内心 C重心 D垂心9已知 三个顶点 及平面内一点 ，满足 ，若实数 满足：A、 0CB，则 的值为( )CAA2 B C3 D6210设点 是 内一点，用 表示 的面积，令 ， ， PABS ABCPS1ABCPS2ABCPS3-5-B CAMNG定义 ，若 则( ),()
8、321Pf )61,32(),31()QfGfA点 在 内 B点 在 内 C点 在 内 D以上皆不对QAG11若 的外接圆的圆心为 ，半径为 1， ，则 ( )BCO0OBABA B0 C1 D21 212 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，若 ， OA、 22OCA2ABC则 是 的( )A外心 B内心 C重心 D垂心13(06 陕西) 已知非零向量 与 满足 且 , 则ABC 为( )0|BA21|A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形14已知 三个顶点 ，若 ，则 为( )BCCA、 CA2 BA等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D既非等
9、腰又非直角三角形二填空题15 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H， ，则实数 m = 1 )(OmO16 中， ， 为重心，则 BC7,3,1AA2717点 在 内部且满足 ，则 3 O02CB:BCSO18点 在 内部且满足 ，则 4 AO51:A19已知 中， ， 为 的内心，且 ，则 .ABC6,I BCAI16520已知 中， ， 为 的外心，且 ，则 112CBAOBCyxOyx2721已知 为锐角 的外心， ，若 ，则 O30mA2sincosic 22在 中， ，则 ABC1,DBAD3三解答题23 如图，已知点 是 的重心，过 作直线与 两边分别交于 两点，GGCB
10、, ,且 ， ，求证： MxNyC3xy解：由 三点共线，,得： AttA)1(-yBx又 是 的重心G得： -C3-6-由得： ，消去 得： .31)(tyxt13xy24设 在 的内部，若有正实数 满足： ，OABC321,0321 OCBA求证： AOBCBOSS:321证明：作： ， ， 2 C3则 ，0则 为 的重心，则： .设为 OBACOBSS又 AOBOBA2!13从而得： AOBCBOSSS:21331 25已知向量 ， ， 满足条件 + + = ，| |=| |=| |=1，求证： 为正三角形P2P301P23321P证明：由 + + = + =1O301O2平方得： 21
11、2从而得： 3)(| 21121 OPPP同理可得： ，即 为正三角形3|3 32126在 中， ，求从顶点 出发的两条中线 的夹角的余弦值ABC60,5,ABA, BEAD,解：设 ，则ba, ,cos2,4,25且 ；BEAD1)(1则 ,3)852(41)(4)2(2 baba90511|)(|2| 2ba 216242|)(| baBE故： .94139|,cos BEAD27已知 是 的垂心，且 ，试求 的度数HC |CHA解：设 的外接圆半径为 ，点 是 的外心。 ROBA CAECABCHO-7- 是 的垂心HABC O ,AOCB2 )cos1(2)(|22 RBA ，CB )
12、cs()(| 222 AO ， |AH Acos1cs 02o而 为 的内角，BC 从而 或36A90227 的度数为 或 .45128已知 ，试写出 的重心 ，外心 ，和垂心 的坐标，并证明 三点共线),(,)0,(cbOOBCGFHHFG,(2002 全国)解：易知 ；)3,1(G设 ，由 ，且 ，),0ybHBC),1(),(0cbByH得 ，得 ，即 ；1),(),0 bcO by(0 )1(,cbH设 ，则由 ,即 .),21(yF cyF2)()2(4| 22 )2,(bF而且： )3,1(),63,( 22bHcbG易知： （又有公共端点 ） ，故 三点共线.FHFG,29已知
13、、 分别为不等边 的重心与外心， 、 且 ，(1)求点 的轨迹方程；MABC )0,1(AB),(GMABC(2)若直线 过点(0，1)，并与 的轨迹曲线交于 、 两点，且满足 ( 为坐标原点)，求直线 的方l PQ0OQPl程解：（1）设 ，则 ，再设 ，由 ，易得： 故外心 ；),(yxC)3,(yxG),0(yM/.30y)3,0(y由 ，代入坐标得：|MB 913222y化简得 的轨迹方程为： （ ）32yx0x（2）略-8-O CBAP30已知 是非等边 外接圆 上任意一点，(外接圆半径为 )PABCOR试问 位于何处时， 取得最大值和最小值22P解：如图，设 的外接圆半径为 ，点 是 的外心. RABC22A 222 )()()( O6POBAPR)(2C.（ 为 的垂心）H故有：当 为 的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值 ;P |26OHR当 为 的延长线与外接圆的交点时，有最小值 .O|
