1、两角和差正余弦公式的证明 两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。 下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。 由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或方程 , 将 或 与 , 的三角函数联系起来。 根据诱导公式 , 由角 的三角函数可以得到 的三角函数。 因此 , 由和角公式容易得到对应的差角公式 , 也可以由差角公式得到对应的和角公式。 又因为 , 即原角的余弦等于其余角的正弦 , 据此 , 可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。 因此 , 只要解决这组公式中的一个 , 其余
2、的公式将很容易得到。 (一) 在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 , 和 , 而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示 , 因此 , 我们可以用单位圆来构造联系 与 , 的三角函数值的等式。 1. 和角余弦公式 (方法 1) 如图所示, 在直角坐标系 中作单位圆 , 并作角 , 和 , 使角 的始边为 , 交 于点 A, 终边交 于点 B；角 始边为 , 终边交 于点 C；角 始边为 , 终边交 于点。从而点 A, B, C 和 D 的坐标分别为 , , , 。由两点间距离公式得 ；。注意到 , 因此 。注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架 ,
3、 利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段, 从而得到我们所要的等式。注意, 公式中的 和 为任意角。2. 差角余弦公式 仍然在单位圆的框架下 , 用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段, 也可以得到我们希望的三角等式。这就是 (方法 2) 如图所示, 在坐标系 中作单位圆 , 并作角 和 , 使角 和 的始边均为 , 交 于点 C, 角 终边交 于点 A,角 终边交 于点。从而点 A, B 的坐标为 , 。 由两点间距离公式得 。由余弦定理得 。从而有 。 注记：方法 2 中用到了余弦定理 , 它依赖于 是三角形的内角。 因此, 还需要补充讨论角 和 的终边共线, 以及 大于 的情形。
4、容易验证 , 公式在以上情形中依然成立。 在上边的证明中 , 用余弦定理计算 的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明。 (二) 在三角形的框架下推导和差角正弦公式 除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式 , 还可以在三角形中构造和角或差角来证明和差角的正弦公式。 1. 和角正弦公式 (一) (方法 3) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , , , 则。从而有 , , , 。因此 , 。注意到 , 从而有： , 整理可得 ： 。注记：在方法 3 中 , 用 和与底角 , 相关的三角函数, 从两个角度来表示 边上高 , 从而得到所希望的等式关系。 这一证明所用的图
5、形是基于钝角三角形的 , 对基于直角或锐角三角形的情形 , 证明过程类似。 利用方法 3 中的图形 , 我们用类似于恒等变形的方式 , 可以得到下面的 (方法 4) 如图所示, 为 的 边上的高 , 为 边上的高。 设 , , 则 。 注意到 , 则有 ,即。 从而有 。利用正弦定理和射影定理 , 将得到下面这个非常简洁的证法。 注意证明利用的图形框架与方法 3,4 所用的图形框架是相同的。 (方法 5) 如图所示 , 为 的 边上的高。 设 , , 则有 ,。 由正弦定理可得 , 其中 d 为 的外接圆直径。 由 得 , 从而有 。2. 和角正弦公式 ( 二 ) 方法 3,4 和 5 利用的
6、图形框架是将角 , 放在三角形的两个底角上。 如果将这两个角的和作为三角形的一个内角 , 将会有下面的几种证法 ( 方法 611)。(方法 6) 如图所示 , 作 于 D, 交 外接圆于 E, 连 和 。 设 , , 则 , , 。 设 的外接圆直径为 d, 则有, , ,。 所以有 。注意到 , 从而 。(方法 7) 如图所示 , 为 的 边上的高 , 为 边上的高。设 , , 则 。 设 , 则 , , , , 。又从而 。整理可得 。(方法 8) 如图所示 , 作 于 D, 过 D 作 于 F, 于G。 设 , , 则 ,设 , 从而 , , ,。所以 。 注意到 , 则有 。注记：我们用两种不同的方法计算 , 得到了和角的正弦公式。 如果我们用两种方法来计算 , 则可以得到和角的余弦公式。 由上图可得 , , 从而有 。注意到 , 从而可得 。方法 6,7 和 8 都是用角 , 的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段 , 从而构造出我们所希望的等式关系。 (方法 9 ) 如图所示 , 设 为 的 边上的高。 设 , , , , 从而有 方法 9 利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。 (方法 10) 如图所示 , 设 为 的外接圆直径 d, 长度为 d。 设 , , 则 , 从而
