1、编辑：王老师 一线三等角问题一、问题引入如图， 中， ， ，过 D 作 交 BC 延长线与 E。ABC90CAEAB求证： ED: B EA DC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）ABDCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形中一线三等角）编辑：王老师 （1）等腰三角形中一线三等角例 1、 如图，已知在ABC 中， AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD =2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作 ，射线 EF 交线段 AC 于 FEFB（1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3
2、）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少是，三角线相似。变式练习 1 就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是 DF 与底边平行，一种是 E 为中点；（4、 在等腰三角形，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。变式练习 1 （浦东新区 22 题）如图，已知等边 的边长为 8，点 、 、 分别在边 、 、 上，ABCDFEABC， 为 中3
3、BDE点，当 与 相似时，求 的值.PPFBACDEBACD(备用图)编辑：王老师 变式练习 2（宝山 22 题）如图 6，已知 中， ,点 、 在边 上，满足 = .求证：ABCEFBCEAFC；BFE FE CB A（图 6）（2）等腰梯形中一线三等角例 2.（长宁区 18 题）如图，等腰梯形 中，ABCD ， ， ， ，直角三角板含 45 度角的顶点 在边ADBC2445 E上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 .若 为等腰三角形，则FAB的长等于 .F例 3（徐汇区 25） 如图，在梯形 中， ，ABCDB， 点 为边 的中点，以 为顶点作 ，6ABCD3MMEFB射线 交腰
4、于点 ，射线 交腰 于点 ，联结 MEF（1）求证： ；E（2）若 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；E（3）若 ，求 的长F第18第E FDCBA编辑：王老师 例 4、 （杨浦区基础考）四边形 中， ， ，ABCDB09AC， 点 为射线 上动点（不与点 、 重合） ，点 在直线3ABDC5PE上，且 记 ， ， ， E12EPxy（1）当点 在线段 上时，写出并证明 与 的数量关系；P（2）随着点 的运动， （1）中得到的关于 与 的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的 的取值范围；（3）若 cos = ，试用 的代数式表示 3
5、xy编辑：王老师 （3）坐标系中一线三等角例 5 （金山区 24）如图，住平面直角系中，直线 ： 分别交 轴、AB40yxax轴于 、 两点，直线 分别交 轴、 轴于 、 两点， 是 轴上的一点，yBAExED，过 作 轴交 于 ，连接 ，当动点 在线段 上运动（不ODCCO与点 点 重合）且 时B(1)求证： ；(2)求线段 的长（用 的代数式表示） ；a(3)若直线 的方程是 ，求 的值AE136yxbtanBA变式练习 3、在平面直角坐标系 XOY 中， 的位置如图所示，已知AOB,点 A 的坐标为006,9AOB1,3（1） 求点 B 的坐标；（2） 若抛物线 经过 A、O、B 三点，求函数解析式。cbxay2编辑：王老师 （4）矩形中一线三等角例 6、 （长宁区 24 题） 如图，在矩形 中， ， ，点 是射线 上ABCD46APDA的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点 ，三角板两直角中的一边始终经过点 ，另PC一直角边交射线 于点 BAE（1）判断 与 一定相似吗？请证明你的结论；P（2）设 ， ，求 与 的函数关系式，并写出它的定义域；Dxyx（3）是否存在这样的点 ，是 周长等于 周长的 2 倍？若存在，请求出ADC的长度；若不存在，请简要说明理由EP DCBA
