1、BAODC E图2三角形全等综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 2，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD 不能重叠），求AEB 的大小.2、 如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图 a 中
2、的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.3. 如图 1，若 和 为等边三角形， 分别为 的中点ABCDE,MN,EBCD（1） 绕 点旋转到图 2 的位置时， 是否成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由； EC（2） 绕 点旋转到图 3 的位置时， 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，若不是，请说A明理由 图 8C BOD图1AE4、已知，如图所示，在 ABC 和 DE 中， ABC， DAE
3、， BCDAE，且点 BD， ， 在一条直线上，连接 EMN， ， ， 分别为 ， 的中点（1）求证： ； ；（2）在图的基础上，将 绕点 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立. 5. 如图，四边形 ABCD 和四边形 AEFG 均为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点 H（1）证明：ABG ADE ；（2）试猜想 BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转（0 BAE 180），设ABE 的面积为 ， ADG 的面积为 ，判断 与 的大小关系，并给予证明1S2S126.已知：如图， 是等边三角形
4、，过 边上的点 作 ，交 于点 ，在 的延长线上取ABC ABDGBC AGD点 ，使 ，连接 EDED，（1）求证： ；G （2）过点 作 ，交 于点 ，请你连接 ，并判断 是怎样的三角形，试证明你的结F FEF论 C G A E D B F CFGEDBAHCENDABM图CAEMB DN图二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等1、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC交 CF 的延长线于 D求证：（1）AECD； （2）若 AC12 cm，求 BD 的长 2
5、、如图(1), 已知ABC 中, BAC=900, AB=AC, AE 是过 A 的一条直线, 且 B、C 在 A、E 的异侧, BDAE 于 D, CEAE 于 E 。 (1)试说明: BD=DE+CE.(2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE), 其余条件不变, 问 BD 与 DE、CE 的关系如何? 说明理由。3. 直线 CD 经过 BCA的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且 BECFA（1）若直线 CD 经过 的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若 ，则 BAF（填“ ”，“ ”或“ ”号）；90,如图 2，若
6、 18，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系 ；（2）如图 3，若直线 CD 经过 BA的外部， C，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明ABCE F D DABCE FADFCEB图 1 图 2 图 3考点 2：利用角相等证明垂直1、 如图，在等腰 RtABC 中，ACB=90，D 为 BC 的中点，DEAB，垂足为 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接 AF，试判断ACF 的形状.2、如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作
7、 AD 的垂线，交 AB 于点E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE3. 如图 1，已知正方形 的边 在正方形 的边 上，连接 ， .ABCDDEFGAEGC（1）试猜想 与 有怎样的位置关系，并证明你的结论；EG（2）将正方形 绕点 按顺时针方向旋转，使 点落在 边上，如图 2，连接 和 .你认为（1）FBC中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.A BCDEF图 94.如图 1， 的边 BC 在直线 上， 且 的边 也在直线 上，边 与边ABCl,ACB,CEFPlEF重合，且 EFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 与 所满足的数量关系和位置关系
8、；A（2）将 沿直线 向左平移到图 2 的位置时， 交 于点 ,连接 .猜想并写出 与 所满l Q,BBQAP足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将 沿直线 向左平移到图 3 的位置时， 的延长线交 的延长线于点 Q,连结 ,你认为（2）中所猜想的 与 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说BQAP明理由. 三、 等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用1. 如图， 中， ， ， 是 中点， ， 与 交于ABCA90BCDBCEFDAB， 与 交于 求证： ， EFDFEFA2. 两个全等的含 ， 角的三角板 和三角板 ，如图所示放
9、置， 三点在一条直线上，连结306ADEBC,EAC，取 的中点 ， 连结 试判断 的形状，并说明理由BDM,CMl(1)AB (F)(E)C PABECF PQ(2) lABECF Pl(3) QAB CDE FMEDCBA3、 已知 中， ， ， 为 边的中点， ， 绕 点旋转，它的两边RtABC90CDAB90EDFFD分别交 、 （或它们的延长线）于 、 当 绕 点旋转到 于 时（如图 1） ，易证EFACE12DEFSS当 绕 点旋转到 和 不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予DA证明；若不成立， ， ， 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，
10、并证明EFCBCS FEDC BA1AECFBD2 AEC FBD34、已知：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D， BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点F， H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1) BF=AC (2) CE= 12BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1、如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合） ，另一条直角边与 CBM 的平分线 BF 相交于点
11、 F. 如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时： 通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ； 连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ； 请证明你的上述两猜想. 如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明2. 在 RtABC 中， ACBC，ACB 90，D 是 AC 的中点，DG AC 交 AB 于点 G.（1 ）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF
12、 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证：DG=DC判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2 ）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1) 中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变 （本小题直接写出结论，不必证明）3、 已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点E 在 BC 上滑动， （点 E 不与点 B、C 重合） ，斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1 ）如图（1 ）当点 E 在 BC
13、 边得中点位置时猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 . 1连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 . 2请证明你的上述猜想； 3（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、 角平分线问题1. 如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分DAB 和CBA, AEB=90,设 AD , xBC ，且 满足y,x268250yx（1 ）求 AD 和 BC 的长；（2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3 ）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.ADBCG E图2GHFED CBA图11N FMC
14、BAE2FMCBAEACBDE2. 如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1 ）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC 、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2 ）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.如图，在四边形 中， 平分 ，过 作 ，并且 ，则ABCDBADCEAB于1()2EABD等于
15、多少？AB4. 如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC， DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1 ）说明 BE=CF 的理由；（2 ）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE 的长.abEDGFCBAO PAMNEBCDFA CE FBD图图图ED CBA五、中点问题1. 在ABC 中, 为 的中点， 过 点的直线 交 于 , 交 的平行线DBCDGFAC于点 。 , 并交 于点 . 连结 .BGEFAE（1）求证: ；（2）请猜想 与 的大小关系, 并加以证明2、已知 中， ， 为 的延长线，且 ， 为 的 边上的中线求证ABCABDBDACEBACDEE DCBA3
16、、以 的两边 、 为腰分别向外作等腰 和等腰 ， .连接 ，ABCACRtABDtACE90BDCAE、 分别是 、 的中点探究： 与 的位置关系及数量关系MNDEME如图 当 为直角三角形时， 与 的位置关系是 ；线段 与 的数量关系是 M；将图中的等腰 绕点 沿逆时针方向旋转 ( )后，如图 所示，问中得到的两个结论是RtB09否发生改变？并说明理由 NMEDCB ANMEDCBA3、已知：如图，矩形 中点 为 延长线上一点，连接 ，且 ，点ABCDG,DGBH于 GHD分别在 上，且 。,EF,/EF（1 ）若 ，求 的长；32（2 ）若 ，求证： 。G124、 （ 2010 年宁德市） （本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD（不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN、AM 、CM. 求证：AMBENB； 当 M 点在何处时，AM CM 的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由； 当 AMBM CM 的最小值为 时，求正方形的边长.13EA DB CNM
