1、1三角函数 yAxsin()的图像变换_1结 合 具 体 实 例 , 理 解 y=Asin 的 实 际 意 义 , 会 用 “五 点 法 ”画 出 函 数 y=Asin 的 简 图 。 会 用 计 算)( x )( x机 画 图 , 观 察 并 研 究 参 数 , 进 一 步 明 确 对 函 数 图 象 的 影 响 。,A2能 由 正 弦 曲 线 通 过 平 移 、 伸 缩 变 换 得 到y=Asin 的 图 象 。)( x3教 学 过 程 中 体 现 由 简 单 到 复 杂 、 特 殊 到 一 般 的 化 归 的 数 学 思 想 。1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下,作出函数 和 的
2、简图,并指出它们与)3sin(xy)4sin(xyyxsin图象之间的关系。解析:函数 的周期为 2,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的)3sin(xy简图。设 ,那么 ,Zx3Zsin)i(3x当 Z 取 0、 时,x 取 6275、 、 、 、。所对应的五点是函数2, 图象上起关键作用的点。)3sin(xy35,列表: x 6 23 76 53 3 0 2 sin()x 0 1 0 1 0 2类似地,对于函数 ,可列出下表:)4sin(xyx 3 54 7 94 0 2 32 sin()x40 1 0 1 0 描点作图(如下)利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得
3、出 , xR及)3sin(y, xR的简图(图略) 。)4sin(y由图可以看出, 的图象可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左平行移动)3sin(xy3个单位而得到的, 的图象可以看作是把 i的图象上所有的点向右平行移)4i(动 4个单位得到的。注意:一般地,函数 yxsin()0的图象,可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左(当 0时)或向右(当 时)平行移动 |个单位而得到的。推广到一般有:将函数 yfx()的图象沿 x 轴方向平移 |a个单位后得到函数 fa()0的图象。当 a0 时向左平移,当 a0 且 A1 )的图象,可以看作是把 yxsin的图象上所有点的纵坐标伸长(
4、当 A1 时)或缩短(当 00 且 A1)的图象,可以看作是把函数 yfx()图象上的点的纵坐标伸长(当 A1)或缩短(当 00, 0, x), )表示一个振动量时,A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间T2,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数fT12,它叫做振动的频率;x叫做相位, 叫做初相(即当 x0 时的相位) 。6例 1. 用两种方法将函数 yxsin的图象变换为函数yxsin()23的图象。分析 1:x2623()解法 1: y sin横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变 1x i26向 左 平 移
5、个 单 位yxs()si()23分析 2:解法 2: yx sin向 左 平 移 个 单 位3 i()312横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变yxs点评:在解法 1 中,先伸缩,后平移;在解法 2 中,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换方法中的平移是不同的(即 6和 3) ,但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的。练习:应选 D7x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与 x 轴交点中最的图象选 D例 2. 用五点法作出函数 的图象,并指出函数的单调区间。)32sin(xy分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。解析:(1)列表列表时
6、取值为 0、 、 、 、 2,再求出相应的 x 值和 y 值。32x2(2 )描点 x 6 12 3 712 56 3 0 y 0 2 0 -2 0 (3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到 ,)32sin(xyxR的简图(图略) 。可见在一个周期内,函数在 , 上递减,又因函数的周期为 ,所以函数的递减区127间为 。同理,增区间为 。)( Zkk,7,12 )( Zkk,12,5-点评:五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的 x取 0、 、 、2、 ,然后求出相应的 x,y 值。3例 3. 如图是函数
7、 Asin()的图象,确定 A、 、 的值。8解析:显然 A2T56()yx2sin()解法 1:由图知当6时,y0故有x(),3所求函数解析式为x2sin()解法 2:由图象可知将 yi的图象向左移 6即得yx6sin(),即x23sn()3点评:求函数 yAxsi()的解析式难点在于确定初相 ,一般可利用图象变换例:4试述如何由 y= sin(2 x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。31解析: y= sin(2 x+ ) )(纵 坐 标 不 变 倍横 坐 标 扩 大 为 原 来 的 3sin1 xyi3 纵 坐 标 不 变 个 单 位图 象 向 右 平 移 xysin 横 坐 标 不
8、 变 倍纵 坐 标 扩 大 到 原 来 的另法答案:(1)先将 y= sin(2 x+ )的图象向右平移 个单316位,得 y= sin2x 的图象;(2)再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的312 倍(纵坐标不变) ,得 y= sinx 的图象;(3)再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来31的 3 倍(横坐标不变) ,即可得到 y=sinx 的图象。例 5: 函数 f(x)=Asin(x+)的图象如图 2-15,试依图指出9(1)f(x)的最小正周期;(2)使 f(x)=0 的 x 的取值集合;(3)使 f(x)0 的 x 的取值集合;(4)f(x)的单调递增区间
9、和递减区间;(5)求使 f(x)取最小值的 x 的集合;(6)图象的对称轴方程;(7)图象的对称中心解析: 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的体现,它根据 f(x)=Asin(x+)的图象与函数 y=sinx 的图象的关系得出注:得出函数 f(x)的最小正周期之后,研究 f(x)的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中研究,再延伸到整个定义域中注:实际上 f(x)图象的对称轴方程为 x=x0,而其中 x0使 f(x0)=1 或 f(x0)=-1注:f(x)的图象的对称中心为(x 0,0),其中 x0使 f(x0)=0【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能
10、力的重要训练题,其中有两点要注意反思:周期性在研究中的化简作用,三角函数的“多对一”性练习:1(13 分)已知函数 f(x)Asin(x ) (A0,0,| |0,0,| | ,xR) 的图象的一部分如图所示2(1)求函数 f(x)的解析式;(2)当 x 时,求函数 yf(x)f(x2)的最大值 6, 23 与最小值 及相应的 x 的值解 (1)由图象知 A2,T 8 ,T 8, .2 4又图象过点(1,0),2sin 0.( 4 )| , .f(x)2sin .2 4 (4x 4)(2)yf(x) f(x 2)2sin 2sin(4x 4) (4x 2 4)2 sin 2 cos x.2 (4x 2) 2 4