1、1三角函数 yAxsin()的图像变换_1结 合 具 体 实 例 ， 理 解 y=Asin 的 实 际 意 义 ， 会 用 “五 点 法 ”画 出 函 数 y=Asin 的 简 图 。 会 用 计 算）（ x ）（ x机 画 图 ， 观 察 并 研 究 参 数 ， 进 一 步 明 确 对 函 数 图 象 的 影 响 。,A2能 由 正 弦 曲 线 通 过 平 移 、 伸 缩 变 换 得 到y=Asin 的 图 象 。）（ x3教 学 过 程 中 体 现 由 简 单 到 复 杂 、 特 殊 到 一 般 的 化 归 的 数 学 思 想 。1、函数图象的左右平移变换如在同一坐标系下，作出函数 和 的
2、简图，并指出它们与)3sin(xy)4sin(xyyxsin图象之间的关系。解析：函数 的周期为 2，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的)3sin(xy简图。设 ，那么 ，Zx3Zsin)i(3x当 Z 取 0、 时，x 取 6275、 、 、 、。所对应的五点是函数2， 图象上起关键作用的点。)3sin(xy35,列表： x 6 23 76 53 3 0 2 sin()x 0 1 0 1 0 2类似地，对于函数 ，可列出下表：)4sin(xyx 3 54 7 94 0 2 32 sin()x40 1 0 1 0 描点作图（如下）利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得
3、出 ， xR及)3sin(y， xR的简图（图略） 。)4sin(y由图可以看出， 的图象可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左平行移动)3sin(xy3个单位而得到的， 的图象可以看作是把 i的图象上所有的点向右平行移)4i(动 4个单位得到的。注意：一般地，函数 yxsin()0的图象，可以看作是把 yxsin的图象上所有的点向左（当 0时）或向右（当 时）平行移动 |个单位而得到的。推广到一般有：将函数 yfx()的图象沿 x 轴方向平移 |a个单位后得到函数 fa()0的图象。当 a0 时向左平移，当 a0 且 A1 ）的图象，可以看作是把 yxsin的图象上所有点的纵坐标伸长（
4、当 A1 时）或缩短（当 00 且 A1）的图象，可以看作是把函数 yfx()图象上的点的纵坐标伸长（当 A1）或缩短（当 00， 0， x)， ）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T2，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数fT12，它叫做振动的频率；x叫做相位， 叫做初相（即当 x0 时的相位） 。6例 1. 用两种方法将函数 yxsin的图象变换为函数yxsin()23的图象。分析 1：x2623()解法 1： y sin横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变 1x i26向 左 平 移
5、个 单 位yxs()si()23分析 2：解法 2： yx sin向 左 平 移 个 单 位3 i()312横 坐 标 缩 短 到 原 来 的纵 坐 标 不 变yxs点评：在解法 1 中，先伸缩，后平移；在解法 2 中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的（即 6和 3） ，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的。练习：应选 D7x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与 x 轴交点中最的图象选 D例 2. 用五点法作出函数 的图象，并指出函数的单调区间。)32sin(xy分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。解析：（1）列表列表时
6、取值为 0、 、 、 、 2，再求出相应的 x 值和 y 值。32x2（2 ）描点 x 6 12 3 712 56 3 0 y 0 2 0 -2 0 （3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到 ，)32sin(xyxR的简图（图略） 。可见在一个周期内，函数在 ， 上递减，又因函数的周期为 ，所以函数的递减区127间为 。同理，增区间为 。）（ Zkk,7,12 ）（ Zkk,12,5-点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的 x取 0、 、 、2、 ，然后求出相应的 x，y 值。3例 3. 如图是函数
7、 Asin()的图象，确定 A、 、 的值。8解析：显然 A2T56()yx2sin()解法 1：由图知当6时，y0故有x()，3所求函数解析式为x2sin()解法 2：由图象可知将 yi的图象向左移 6即得yx6sin()，即x23sn()3点评：求函数 yAxsi()的解析式难点在于确定初相 ，一般可利用图象变换例:4试述如何由 y= sin（2 x+ ）的图象得到 y=sinx 的图象。31解析： y= sin（2 x+ ） ）（纵 坐 标 不 变 倍横 坐 标 扩 大 为 原 来 的 3sin1 xyi3 纵 坐 标 不 变 个 单 位图 象 向 右 平 移 xysin 横 坐 标 不
8、 变 倍纵 坐 标 扩 大 到 原 来 的另法答案：（1）先将 y= sin（2 x+ ）的图象向右平移 个单316位，得 y= sin2x 的图象；（2）再将 y= sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的312 倍（纵坐标不变） ，得 y= sinx 的图象；（3）再将 y= sinx 图象上各点的纵坐标扩大为原来31的 3 倍（横坐标不变） ，即可得到 y=sinx 的图象。例 5： 函数 f(x)=Asin(x+)的图象如图 2-15，试依图指出9(1)f(x)的最小正周期；(2)使 f(x)=0 的 x 的取值集合；(3)使 f(x)0 的 x 的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间
9、和递减区间；(5)求使 f(x)取最小值的 x 的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心解析： 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据 f(x)=Asin(x+)的图象与函数 y=sinx 的图象的关系得出注：得出函数 f(x)的最小正周期之后，研究 f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中注：实际上 f(x)图象的对称轴方程为 x=x0，而其中 x0使 f(x0)=1 或 f(x0)=-1注：f(x)的图象的对称中心为(x 0，0)，其中 x0使 f(x0)=0【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能
10、力的重要训练题，其中有两点要注意反思：周期性在研究中的化简作用，三角函数的“多对一”性练习：1(13 分)已知函数 f(x)Asin(x ) (A0，0，| |0，0，| | ，xR) 的图象的一部分如图所示2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x 时，求函数 yf(x)f(x2)的最大值 6， 23 与最小值 及相应的 x 的值解 (1)由图象知 A2，T 8 ，T 8， .2 4又图象过点(1,0)，2sin 0.( 4 )| ， .f(x)2sin .2 4 (4x 4)(2)yf(x) f(x 2)2sin 2sin(4x 4) (4x 2 4)2 sin 2 cos x.2 (4x 2) 2 4
