1、求函数值域的 7 类题型和 16 种方法一、函数值域基本知识1定义：在函数 ()yfx中，与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合） 。2确定函数的值域的原则当函数 ()yfx用表格给出时，函数的值域是指表格中实数 y 的集合；当函数 用图象给出时，函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；当函数 ()yfx用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数 ()f由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用
2、什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。一般地，常见函数的值域：1.一次函数 0ykxb的值域为 R.2.二次函数 2ac，当 0a时的值域为24,acb，当0a时的值域为24,b.，3.反比例函数 0kyx的值域为 0yR.4.指数函数 1a且 的值域为 .5.对数函数 logya且 的值域为 R.6.正，余弦函数的值域为 ,，正，余切函数的值域为 R.三、求解函数值域的 7 种题型题型一：一次函数 0yaxb的值域（最值）1、一次函数： 当其定义域为 R，其值域为 ；2、一次函数 0yaxb在区间 ,mn上的最值，只需分别求出 ,fmn，并比较它们的大小即可。若区间的形式为 或 ,等时，需结
3、合函数图像来确定函数的值域。题型二：二次函数 )()(2acxf的值域（最值）1、二次函数 0bax， 当其 定义域为 R时，其值域为24 acby2、二次函数 )0()(2acbxf在区间 ,mn上的值域(最值)首先判定其对称轴 与区间 的位置关系（1）若 ,2mna,则当 0a时， ()2bfa是函数的最小值，最大值为()f中较大者；当 0时， ()2bfa是函数的最大值，最大值为 ,()fn中较小者。（2）若 ,bna,只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值。特别提醒：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；若给定的区间形式是 ,bab等时，要结合图像来确函数的值域；当顶点横
4、坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。例 1：已知 2fx的定义域为 3,，则 fx的定义域为 ,1 。例 2：已知 1，且 4x，则 的值域为 7 。题型三：一次分式函数的值域1、反比例函数 )0(kxy的定义域为 0x，值域为 0y2、形如： cdab的值域：（1）若定义域为 xRa时，其值域为 cyRa（2）若 ,mn时，我们把原函数变形为 dbx，然后利用 ,xmn（即 x的有界性），便可求出函数的值域。例 3：函数 231xyA的值域为 1,3, ；若 1,2x时，其值域为 1,5。例 4：当 3,x时，函数 321xy的值域 34,2 。 （2）已知1
5、2f，且 ,x，则 f的值域为 6,5 。例 5：函数 sin13y的值域为 ,3,5 ；若 3,2x，其值域为 1,2。题型四：二次分式函数2dxecyab的值域一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： 检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；闭区间的边界值也要考查达到该值时的 x是否存在；分子、分母必须是既约分式。例 6：216xy； 2,7例 7： 2； 1yR例 8： 43xy； 3,4例 9：求函数 21 1,x的值域解：由原函数变形、整理可得： 210yxy求原函数在区间 ,上的值域，即求使上述方程在 ,有实数解时系数 y
6、的取值范围当 0y时，解得： 1,x 也就是说， 是原函数值域中的一个值 当 时，上述方程要在区间 上有解，即要满足 f或021yA解得： 108y 综合得：原函数的值域为： ,8题型五：形如 yaxbcd的值域 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。例 10： 求函数 142在 ,1x时的值域 4,题型六：分段函数的值域：一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。例 11： 21xy 3,例 12： 24 5题型七：复合函数的值域 对于求复合函数
7、的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。例 13： 12xy 0,2例 14： 34 5,四、函数值域求解的十六种求法（1）直接法（俗名分析观察法）：有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量 x的范围出发，推出 ()yfx的取值范围。或 由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。例 1：已知函数 12x， 2,10，求函数的值域。 ,03例 2：求函数 yx的值域。 1,)例 3：求函数 1,1x 的值域。 ,例 4：求函数 260yx的值域。 1,（2）配方
8、法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如 20yaxbc或20Fxafbfxca类的函数的值域问题，均可使用配方法。例 1求函数 32y的值域。分析与解答：因为 x，即 1x， 4)1(2xy，于是：4)(02x， 20y。例 2求函数 xy42在区间 4,1x的值域。分析与解答：由2配方得： 62xxy，当 41x时，函数 4xy是单调减函数，所以 4186y；当 2时，函数 2是单调增函数，所以 7。所以函数在区间 4,x的值域是 4186y。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的
9、值域的方法。例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。解：由 3-2x-x20，解出定义域为-3 ，1 。 函数 y 在 -3，1内是连续的，在定义域内由 3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0。函数的值域是0,2例 2：求函数 xy， 2,的值域。 ,4例 3：求函数 256的值域。 73,8（4）反函数法（逆求或反求法）：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用 y来表示 x，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 y的取值范围。对于形如 )0(abxdc的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得
10、到原函数的值域。例 1：求函数 12xy的值域。解：由x解得 xy， 20x， 10y， 1函数 1x的值域为 (,)。（5）分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数 )0(cdxbay，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 )(bcadcxbay，用复合函数法来求值域。例 1：求函数 125的值域。解：7()125xy x，7205x， 1，函数 y的值域为 |2y。（6）换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂
11、的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。对形如 1yfx的函数，令 fxt；形如(,0)axbcdabac均 为 常 数的函数，令 cxdt；形如含2的结构的函数，可利用三角代换，令 os,0,x，或令sin,2xa.例 1：求函数 1yx的值域。解：令 2t（ 0t） ，则2tx， 215()4ytt当 12，即 38x时， maxy，无最小值。函数 y的值域为 (,。例 2求函数 21)45)125(2 xx的值域。分析与解答：令 4925452xxt ，
12、则 t。18182ttty，当 49t时， 685492miny，值域为 168|y例 3求函数 3102x的值域。分析与解答：由 y= 25x，令 cos2x， 因为 1cos0cos2522 x ， ,0，则= sin，于是 54sin25coi2y ， 45,，14sin，所以 7y。（7）判别式法：把函数转化成关于 x的二次方程 (,)0Fx；通过方程有实数根，判别式 0，从而求得原函数的值域。对形如2112abcy（ a、 2不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于 x 的二次方程，由于方程有实根，即 0从而求得 y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。注意：
13、主要适用于定义在 R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。例 1：求函数231yx的值域。解：由2变形得 2()(1)30yxy，当 1y时，此方程无解；当 时， xR， 2(1)4()30yy解得 3y，又 ， 3函数231xy的值域为 1|3y（8）函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，0,bfxa.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题。例 1：求函数 12yx的值域。解：当 增大时， 随 的增大而减少， 12x随 的增大而增大，函数 yx在定义域 (,2上是增函数。 112，函数 yx的值域为 1(,2。例
14、 2求函数 1在区间 0x上的值域。分析与解答：任取 ,21x，且 21x，则2121fxf ，因为 210，所以：0,2121，当 x时， 021，则 21xff；当 21时， x，则 ；而当 1x时， 2miny于是：函数 y在区间 ,上的值域为 ),。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例 3：求函数 xxf1的值域。分析与解答：因为 0，而 x1与 在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数 xg1，易知 )(g在定义域内单调增。21maxg， 2min， 2x， 20x，又 422xgf，所以： 42xf， 2xf。（9）基本不等式法利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式
15、时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。利用基本不等式 2ab，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用 求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件 0,ab; 或 为定值；取等号成立的条件 ab.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数 (0,)nkyxN的值域。例 1 求函数 12xy的值域. 解: 112xx , 当且仅当 1x时 “成立. 故函数的值域为),y. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以
16、省去判别式法中介二次不等式的过程. 例 2：求函数的值域：21xy.解： 2 11222xyxx,021122xx当且仅当12x时，即 12x时等号成立，12y，所以元函数的值域为 12,.例 3. 求函数 的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当 时 ，等号成立故原函数的值域为：例 4. 求函数 的值域。解： 当且仅当 ，即当 时，等号成立。由 可得：故原函数的值域为：（10）函数有界性法： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如 dxbcayosin，由于正余弦函数都是有界函数，值域为-1，1 ，利用这个性质可求得其值域。例 1：求函数21xy的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为 R，对函数进行变形可得
