1、第 1 页（共 14 页）全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线一填空题（共 1 小题）1 （2015 秋宿迁校级月考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于D若 BD：DC=3：2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 二解答题（共 10 小题）2 （2010 秋涵江区期末）如图所示，在 RtABC 中，C=90 ，BC=AC，AD 平分BAC交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD3如图，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD （AB+AC） 4 （2013 秋藁城市校级期末）在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点
2、C，且 ADMN 于点 D，BE MN 于点 E（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明第 2 页（共 14 页）5已知ABC 中， A=60， BD，CE 分别平分ABC 和 ACB，BD 、CE 交于点 O，试判断 BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由6 （2012 秋西城区校级期中）已知：如图， ABC 中，点 D，E 分别在
3、 AB，AC 边上，F 是 CD 中点，连 BF 交 AC 于点 E，ABE+ CEB=180，判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论7 （2010 秋丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角形 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 是ABC 内的一点，且 AD=AC，若DAC=30，试探究 BD 与 CD 的数量关系并加以证明8已知点 M 是等边ABD 中边 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，作DMN=60 ，交DBA 外角平分线于点 N（1）求证：DM=MN ；（2）若点 M 在 AB 的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否依然成立？请你画出图形并证明你
4、的结论第 3 页（共 14 页）9 （2015 春闵行区期末）如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 CD 的中点，E 是 CD 上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 10已知：如图，ABCD 是正方形，FAD= FAE求证： BE+DF=AE11 （2010 秋 巢湖期中）如图，CE、CB 分别是ABC、ADC 的中线，且 AB=AC求证：CD=2CE第 4 页（共 14 页）全等三角形辅助线之截长补短与倍长中线参考答案与试题解析一填空题（共 1 小题）1 （2015 秋宿迁校级月考）如图，在 RtABC 中，C=90 ，AD 平分 BAC 交 BC 于D若 BD：DC=3：2
5、，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC 的长是 15 【考点】角平分线的性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】作 DEAB 于 E，如图，则 DE=6，根据角平分线定理得到 DC=DE=6，再由BD：DC=3：2 可计算出 BD=9，然后利用 BC=BD+DC 进行计算即可【解答】解：作 DEAB 于 E，如图，则 DE=6，AD 平分 BAC，DC=DE=6，BD：DC=3：2，BD= 6=9，BC=BD+DC=9+6=15故答案为 15【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等二解答题（共 10 小题）2 （2010 秋涵江区期末）如图所示，在 RtABC
6、 中，C=90 ，BC=AC，AD 平分BAC交 BC 于 D，求证：AB=AC+CD【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】利用已知条件，求得B=E， 2=1，AD=AD，得出 ABDAED（AAS ） ，AE=ABAE=AC+CE=AC+CD，AB=AC+CD【解答】证法一：如答图所示，延长 AC，到 E 使 CE=CD，连接 DEACB=90，AC=BC，CE=CD，B=CAB= （180ACB）=45，E=CDE=45，B=E第 5 页（共 14 页）AD 平分 BAC，1=2在ABD 和 AED 中，ABDAED（AAS） AE=ABAE=AC+CE=AC+
7、CD，AB=AC+CD证法二：如答图所示，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，AD 平分 BAC，1=2在ACD 和 AED 中，ACDAED（SAS） AED=C=90，CD=ED ，又 AC=BC，B=45EDB=B=45DE=BE，CD=BEAB=AE+BE，AB=AC+CD【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；通过 SAS 的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系3如图，AD 是ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD （AB+AC） 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系菁优网版权所有【专题】计算题【分析】可延长 AD 到 E，使 A
8、D=DE，连 BE，则ACD EBD 得 BE=AC，进而在ABE 中利用三角形三边关系，证之【解答】证明：如图延长 AD 至 E，使 AD=DE，连接 BE在ACD 和 EBD 中：第 6 页（共 14 页）ACDEBD（SAS） ，AC=BE（全等三角形的对应边相等） ，在ABE 中，由三角形的三边关系可得 AEAB+BE，即 2ADAB+AC，AD （AB+AC ） 【点评】本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握4 （2013 秋藁城市校级期末）在 ABC 中，ACB=90，AC=BC，直线，MN 经过点 C，且 ADMN 于点 D，BE MN 于点 E
9、（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 1 的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 2 的位置时，求证：DE=AD BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到如图 3 的位置时，线段 DE、AD 、BE 之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】证明题【分析】 （1）利用垂直的定义得ADC=CEB=90 ，则根据互余得DAC+ACD=90 ，再根据等角的余角相等得到DAC=BCE，然后根据“AAS”可判断ADCCEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到 DE=
10、AD+BE；（2）与（1）一样可证明ADCCEB，则 CD=BE，AD=CE，于是有DE=CECD=ADBE；（3）与（1）一样可证明ADCCEB，则 CD=BE，AD=CE，于是有DE=CDCE=BEAD【解答】 （1）证明：AD MN，BEMN ，ADC=CEB=90，DAC+ACD=90，ACB=90，BCE+ACD=90，DAC=BCE，在ADC 和 CEB，第 7 页（共 14 页），ADCCEB（AAS） ，CD=BE，AD=CE，DE=CE+CD=AD+BE；（2）证明：与（1）一样可证明ADC CEB，CD=BE，AD=CE，DE=CECD=ADBE；（3）解：DE=BEAD【
11、点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、 “SAS”、“ASA”、 “AAS”；全等三角形的对应边相等5已知ABC 中， A=60， BD，CE 分别平分ABC 和 ACB，BD 、CE 交于点 O，试判断 BE，CD，BC 的数量关系，并说明理由【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】在 CB 上取点 G 使得 CG=CD，可证 BOEBOG，得 BEBG，可证 CDOCGO，得 CD=CG，可以求得 BE+CD=BC【解答】解：在 BC 上取点 G 使得 CG=CD，BOC=180 （ABC+ ACB）=180 （18060）=120 ，BO
12、E=COD=60，在 COD 和COG 中，CODFCOG（SAS） ，COG=COD=60，BOG=12060=60=BOE，在 BOE 和 BOG 中，BOEBOG（ASA ） ，BE=BG，第 8 页（共 14 页）BE+CD=BG+CG=BC【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证 CD=CG 和 BE=BG 是解题的关键6 （2012 秋西城区校级期中）已知：如图， ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 边上，F 是 CD 中点，连 BF 交 AC 于点 E，ABE+ CEB=180，判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结
13、论【考点】全等三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】延长 BF 至点 G，使 FG=BF，连 CG，证 GFCBFD，CGF= FBD，CG=DB，求出CGF=CEG，推出 CG=CE，即可得出答案【解答】结论：BD=CE 证明：延长 BF 至点 G，使 FG=BF，连 CG，F 为 CD 中点，CF=DF，在GFC 和 BFD 中GFCBFD（SAS ） ，CGF=FBD，CG=DB，又ABE+CEB=180 ， CEG+CEB=180，CGF=CEG，CG=CE，BD=CE【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用7 （2010 秋丰台区期末）已知：如图，在等腰直角三角
14、形 ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 是ABC 内的一点，且 AD=AC，若DAC=30，试探究 BD 与 CD 的数量关系并加以证明第 9 页（共 14 页）【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质菁优网版权所有【专题】探究型【分析】作 BEBC，AEAC，两线相交于点 E，则四边形 AEBC 是正方形，由DAC=30，得DAE=60，由 AD=AC，得 AD=AE，所以，三角形 AED 是等边三角形，可得AED=60， DEB=30，所以，ADCEDB，可得 BD=CD；【解答】解：BD=CD证明：作 BEBC，AEAC，两线相交于点 E，ABC 是等腰
15、直角三角形，即 AC=BC，四边形 AEBC 是正方形，DAC=30，DAE=60，AD=AC，AD=AE，AED 是等边三角形，AED=60，DEB=30，在ADC 和 EDB 中，ADCEDB（SAS） ，BD=CD【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，作辅助线构建正方形，通过证明三角形全等得出线段相等，是解答本题的基本思路8已知点 M 是等边ABD 中边 AB 上任意一点（不与 A、B 重合） ，作DMN=60 ，交DBA 外角平分线于点 N（1）求证：DM=MN ；（2）若点 M 在 AB 的延长线上，其余条件不变，结论“DM=MN”是否
16、依然成立？请你画出图形并证明你的结论【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【分析】 （1）在 AD 上截取 AF=AM，证明 DFMMBN 即可；（2）在 AD 的延长线上截取 AF=AM，证明 DFMMBN 即可【解答】证明：（1）如图 1，在 AD 上截取 AF=AM，ABD 是等边三角形，AMF 是等边三角形，第 10 页（共 14 页）DF=MB，DFM=120，BN 是DBA 外角平分线，MBN=120，DFM=MBN，DMN=60，BMN+AMD=120，A=60，FDM+AMD=120，FDM=BMN，在FDM 和 BMN 中，FDMBMN（ASA ） ，
17、DM=MN（2）点 M 在 AB 的延长线上，如图 2 所示，在 AD 的延长线上截取 AF=AM，ABD 是等边三角形，AMF 是等边三角形，DF=MB，DFM=60，BN 是DBA 外角平分线，MBN=60，DFM=MBN，BMN=AMD+DMN，FDM=A+ AMD，DMN=A=60，FDM=BMN，在FDM 和 BMN 中，FDMBMN（ASA ） ，DM=MN【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，通过辅助线构造全等三角形是解决问题的关键9 （2015 春闵行区期末）如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 CD 的中点，E 是 CD 上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有
