1、求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的 7 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、倒数变换法、由和求通项定义法（根据各班情况适当讲）二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于： -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。1()naf例 1 已知数列 满足 ，求
2、数列 的通项公式。n112na， na解：由 得 则12na1n23212()()()()211()()aaannn 所以数列 的通项公式为 。a2na例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1123nnaa， na解法一：由 得 则1n1nn123211211()()()()333()(33nnnnaaaan 所以 1.na解法二： 两边除以 ，得 ，132nn13n1123nna则 ，故11nna2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn练习 1.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式.
3、na*12()naNna答案： 2n练习 2.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案：裂项求和 n2评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函a1)(1nfn数、分式函数，求通项 .若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。二、累乘法 1.适用于： -这是广义的等比数列1()nnaf累乘法是最基本的二个方法之二。2若 ，则1()nfa
4、 31212()()()naafff ， ， ，两边分别相乘得， 11()nnkfa例 4.设 是首项为 1 的正项数列，且 （ =1，2， 3，） ，n 0121nnaa则它的通项公式是 =_.a解：已知等式可化为： 0)1(1nnaa( ) (n+1) , 即0na*N01n1n时，2n1= = .1221aann 12nn评注：本题是关于 和 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得n1到 与 的更为明显的关系式，从而求出 .na1 na练习.已知 ,求数列 的通项公式.11()nana三、待定系数法 适用于 1()nqf基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是
5、一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如 ,其中 )型0(,1cdana1例 6 已知数列 中， ，求数列 的通项公式。n11,2(nna解法一： 12(),na1nn又 是首项为 2，公比为 2 的等比数列12,na，即n1n解法二： 12(),na1n两式相减得 ，故数列 是首项为 2，公比为 2 的等112()(2nnaa1na比数列，再用累加法的练习已知数列 中， 求通项 。na,2,11nnna答案：)2(1n2形如： (其中 q 是常数，且 n 0,1) nnap1 若 p=1 时，即： ，累加即可.nn1若 时，即： ，pnnqap1求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除
6、以 .目的是把所求数列构造成等差数列1np即： ,令 ，则 ,然后类型 1，累加求通项.nnqpap)(11nabnnqpb)(1ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。1n即： ,qapqnn1令 ,则可化为 .然后转化为类型 5 来解，nbbnn11iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设 .通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项.)(11 nnnn paqa 注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n11243nna， na解法一（待定系数法）：设 ，比较系数得 ，112(nnna)124,则
7、数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，143na 11435所以 ，即152nn11nna解法二（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1nq13n1243nna解法三（两边同除以 ）： 两边同时除以 得： ，下面解法略1np12n nn)(1*3形如 (其中 k,b 是常数，且 )bkan1 0k例 8 在数列 中， 求通项 .（逐项相减法）n ,23,1nanna解： ， ,231an时， ，2n)1(231nan两式相减得 .令 ,则11nn nnab1231nb利用类型 5 的方法知 即 235nb511n再由累加法可得 . 亦可联立 解出 .1ann 2132nan*
8、5.形如 时将 作为 求解21 nnpqn()f分析：原递推式可化为 的形式，比较系数可求得 ，数列211) nnapa 为等比数列。1na例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na211256,nnaana解：设 211()nn比较系数得 或 ，不妨取 ， （取-3 结果形式可能不同，但本质相同）322则 ，则 是首项为 4，公比为 3 的等比数列211()nnaa1na，所以143n 14352nn练习.数列 中，若 ,且满足 ,求 .na,821a03412nnaan答案： .n3四、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公
9、式。na112,nnana解：求倒数得 为等差数列，首项 ，公差为 ，111,22nnnnaaa1a121(),n五、由和求通项已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 求数列 的通项公式。nanS213,nana例 19 已知数列 的各项均为正数，且前 n 项和 满足 ，且 成n n()26nS249,等比数列，求数列 的通项公式。a解：对任意 有 nN1()26nnSa当 n=1 时， ，解得 或11a112a当 n2 时， 111()26nnnS-整理得： 1130nnaa 各项均为正数，n 1n当 时， ，此时 成立1a32n249a当 时， ，此时 不成立，故 舍去121n24912a所以 3na练习。已知数列 中, 且 ,求数列 的通项公式.n0na2)1(nnaSna答案： nnS1 212nn 1n定义法16已知等比数列 的公比 q=3，前 3 项和na3S（I）求数列 的通项公式；
