1、1 观察法（求出 a1、a2、a3，然后找规律）即归纳推理，就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳法加以证明即可。例 1.设 ， ，若 ，求 及数列 的通项1a)(22Nnbann 1b32,an公式解：由题意可知： ，11，2212 a.33因此猜想 .1n下面用数学归纳法证明上式（1）当 n1 时，结论显然成立（2）假设当 nk 时结论成立，即 .1ka(3)则 ，1)(1)()(12221 kkakk即当 nk1 时结论也成立由（1） 、 （2）可知，对于一切正整数 ，都有 （最后一句总结n)(Nnan很重要）2 定义法（已知数列为等差或者等比）直接利用等差数列或等比
2、数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目。例 2.已知等差数列 满足 ， ，求 的通项公式。na120432ana解：设等差数列 的公差为 .d因为 ，所以 .432又因为 ，所以 ，故 .10a10a14a所以 .()2nn(,)3公式法 若已知数列的前 n 项和 ns与 a的关系，求数列 na的通项 n可用公式 求解。 （一定要讨论 n=1，n2 ）例 3.设数列 的前 项和为 ，已知nanS23.n（）求数列 的通项公式。解：（）由 23n可得：当 时， ，1n1(3)2aS当 时，11()3(2)nnnn 而 ，113a所以 1,.n4累加法当递推公式为 时，通
3、常解法是把原递推公式转化为 1()naf。)(1nfan例 4.数列 满足 ，且 （ ） ，则数列 的前 10 项和为 11an*N解：由题意得： 1221)()()( aannn 2)(5累乘法当递推公式为 时，通常解法是把原递推公式转化为 ，利用累乘)(1nfan )(1nfan法(逐商相乘法)求解。例 5.已知数列 na满足 112,3nna，求 a的通项公式。解：由条件知 1n，在上式中分别令 ，得 个等式累乘之，)(,32, 1n即 ， 即 aan413421 na1又 326.构造法（拼凑法）-共 5 种题型，第 2、3 种方法不必掌握1、当递推公式为 （其中 均为常数，且 ）时，
4、通常解法是qpan1p, 0)1(pq把原递推公式转化为 ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列)(1ttnnt1求解。例题：已知数列 满足 ，求 的通项公式。na3,11nan解：由 31n得 )2(n又 1a所以 是首项为 ，公比为 的等比数列2n3所以 211nna因此数列 的通项公式为 .n 13na2、当递推公式为 时，通常解法是)0,(1 pkbkpkpnn 均 为 常 数 ， 且其 中把原递推公式转化为 ，其中 的值由方程)(yxnayxayx,给出。 （了解即可，不必掌握）byxpk例题：在数列 中， 1a=2， 1n=43a， 求数列 的通项 na。n n解：由 341a得 )
5、()(nn又 1所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列an14所以 ，即 . 14n nn3、当递推公式为 （其中 均为常数，且 ）时，通常解法是把原nncpa1cp, 0pc递推公式转化为 。若 ，则 ，此时数列 是以cnan11 nca为首项，以 为公差的等差数列，则 ，即 。ca1 ccan)(1 1)(若 ，则可化为 形式求解。 （了解即可，不必掌p)(1 pttptcann 其 中握）例题：已知数列 na中， 1=1， 1na=23n，求数列的通项公式。解：由 321得 )(nn所以数列 na是首项为 1a= 2， 的等比数列 q所以 3= 12n ， 即 n=3n4、当递推公式为
6、 1nnpaqs（ 为常数，且 ）时，通常两边同时取倒数，,0pqs把原递推公式转化为 。若 ，则 是以 为首项，以 为公差pann11na1pq的等差数列，则 ，即 。若 ，则可转化为qn)(1 1)(pqns（其中 ）形式求解。)1(1tapstnn spqt例 10.已知数列 n满足 132，且 13nna（ 2nN） ，求数列 na的通项公式。解：原式可变形为 11()3nnaa 两边同除以 1n得 12n 3构造新数列 na，使其成为公比 3的等比数列q即 1()3nn整理得 12na 满足式使 23 1数列 n是首项为 1a，q= 1的等比数列 1()()3nnna 31na。5、当递推公式为 2n1nan（ 均为常数） （又称二阶递归）时，将原递推pqp,公式 2na1转化为 2-1a （ 1n-na）.其中 、 由pq解出，由此可得到数列 1n- n是等比数列。例题：设数列 na的前 项和为 nS， 已知 1a， 23， 54a，且当2n时， 21458nnS证明： 1nn为等比数列；证明：因为 )2(1Sn所以 )2(4112Snn即 )2(412nan因为 213所以 12nn因为 21)(24242 11111 nnnnnn aaaa所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列。12
