1、二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一） 、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希
2、望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的图 1-1OABDEFC 图 1-2ADB CEF和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截
3、取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已
4、证明。例 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2 已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC 中，ABAC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC图 1-3ABCDE图
5、1-4AB CDE4 已知：D 是ABC 的BAC 的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。例 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得
6、证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。练习：1如图 2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果 PC=4，则 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 1图 2-1ABCDEF 图 2-2AB CDE图 2-3PAB CMND F图 2-4BO APDC2已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5, B
7、AC=CAD,ABAD，CEAB，AE= （AB+AD）.求证：D+B=180 。214.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90 ,CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三
8、线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交） 。例 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB-AC）2分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。例 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。图 2-5ABDCE 图 2-6EAB CDF图 2-7FDCBAEH图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰
9、三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）21分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= EC，另21外由求证的结果 AM=
10、 （AB+AC） ，即 2AM=AB+AC，也21可尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习：1 已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN= BC21图 3-3DB EFNACM图 3-4nEBAD CMF（四） 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角
11、形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例 5 如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。12ACDBB DCAA BECD练习：1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC3已知 CE、AD 是ABC 的角平
12、分线，B=60，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC 中，A=90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADCA BAB CDAEB D CAB DC1 2三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个
13、三角形中证明。一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1、 已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证 :AB+ACBD+DE+CE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AM+ANMD+DE+NE;（1）在BDM 中，MB+MDBD；（2）在CEN 中，CN+NECE；（3）由（1）+（2）+（3）得：AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（法二：图 1-2）延长
14、BD 交 AC 于 F，廷长 CE 交 BF 于 G，在ABF和GFC 和GDE 中有：AB+AFBD+DG+GF（三角形两边之和大于第三边）（1）GF+FCGE+CE（同上） （2）ABCDENM1图 ABCDEFG21图 ABCDEFG12图DG+GEDE（同上） （3）由（1）+（2）+（3）得：AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图
15、 2-1：已知 D 为 ABC 内的任一点，求证： BDC BAC。分析 ：因为BDC 与BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并廷长交 BC 于 F，这时BDF 是ABD 的外角，BDFBAD，同理，CDFCAD，BDF+CDFBAD+CAD，即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利
16、用不等式性质证明。三、 有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为 ABC 的中线，且 1= 2, 3= 4,求证： BE+CFEF。分析 ：要证 BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF， EF 移到同一个三角形中，而由已知1= 2 ，3= 4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN ，EF 移到同个三角形中。证明：在 DN 上截取 DN=DB，连接 NE，NF，则 DN=DC，ABCDEFN13图 24在DBE 和NDE 中：DN=DB（辅助线作法）1=2（已知）ED=ED（公共边）D
17、BENDE（SAS）BE=NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF=NF在EFN 中 EN+FNEF（三角形两边之和大于第三边）BE+CFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。四、 截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，1=2，P 为 AD上任一点求证： AB-ACPB-PC。分析 ：要证：AB-ACPB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 AB-AC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 AB-AC=BN，再连接 PN，则 PC=PN，又在PNB 中，PB-PNPB-PC。证明：（截长法）在 AB 上截取 AN=AC 连接 PN,在APN 和APC 中AN=AC（辅助线作法）1=2（已知）AP=AP（公共边）APNAPC（SAS）,PC=PN（全等三角形对应边相等）
