1、 第 1 页第 7 课时 集合复习【学习目标】1掌握集合的有关基本义概念，运用集合的概念解决问题；2掌握集合的包含关系（子集、真子集） ；3掌握集合的运算(交、并、补 )；4解决有关集合问题时，要注意各种思想方法（数形集结合、补集思想、分类讨论）的运用.【课前导学】【复习回顾】1判断下列命题的正误：全集只有一个；“正整数集” 的补集是 “负整数集”；空集没有子集；任一集合至少有两个子集；若 ，则 ；BAA若 ，则 A、B 之中至少有一个为空集；解：只有 ，其余均 X2设集合 , ,且 ，则实数 的取值范围是 32x12xkABk1|k3设 ，集合 ， 若 ，求 的UR2|30Ax2|(1)0B
2、xmxBACU)(m值解： ，由 ，2,1(),UCA得当 时， ，符合 ；mB当 时， ，而 ， ，即,mB2m 或 12【课堂活动】一、建构数学：本单元主要介绍了以下三个问题：1集合的含义与特征；2集合的表示与转化；3集合的基本运算（一）集合的含义与表示(含分类 )1具有共同特征的对象的全体,称一个集合；第 2 页2集合按元素的个数分为: 有限集和无穷集两类；3集合的表示 号 简 记 与 区 间 ）符 号 表 示 法 （ 含 数 集 符 图 表 示 ）示 、 直 角 坐 标 表 示 、图 示 法 （ 目 前 含 数 轴 表 属 性 描 述 两 类 ）描 述 法 （ 含 文 字 描 述 与
3、列 举 ）中 间 省 略 列 举 、 端 省 略列 举 法 （ 含 全 部 列 举 、 Ven（二）集合表示法间的转化 图 示 法直 观 化 符 号 表 示 法属 性 描 述 法文 字 描 述 法 具 体 化列 举 法 简 单 化熟 悉 化 说明：高中数学解题的关键也是着“四化” （三）集合的基本运算1子集：A B 定义为，对任意 xA，有 xB,表现图为 A 在 B 中包含着；2集合运算比较：运算类型 交 集 并 集 补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合, 叫做 A,B 的交集 记作A B（读作A 交B） ，即A B=x|x A，且 x B 由所有属于集合 A 或属于集
4、合 B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B），即 A B =x|x A，或 x B)设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作 ，即CSCSA= ,|x且韦恩图示A B图1A B图2SASA第 3 页A A=AA =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 性质容斥原理：有限集 A 的元素个数记作 card(A).对于两个有限
5、集A，B， 有 card(AB)= card(A)+card(B)- card(AB)二、应用数学：1、注意集合中代表元素“代表元素”实质是认识和区别集合的核心代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同例如 A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2,D=y=x2.例 1 P=y=x2+1,Q=y|y=x2+1,S=x|y=x2+1,M=(x,y)|y=x2+1,N=x|x1. 则相等的集合有 答案：Q=N【变式】Q S=？2、注意集合中元素的互异性注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原则例如对于数集2a, a2-a，实数
6、a 的取值范围是_. 且0a3例 2 (1)已知集合 A=1,4,a,B=1,a2,且 B A,求集合 A 和集合 B；(2)已知 xR,A=-3,x 2,x+1,B=x-3,2x-1,x2+1,如果 =-3，求 解：（1）当 a = 4 时，有 a=2 或-2 ，经检验符合题意，此时 A=1,2,4或 A=1，-2,4, B=1,4；当 a =a 时，有 a= 1 或 0 ，经检验 a=0 符合题意,此时 A=0,1,4,B=0,12（2 ）由 =-3有，x-3= -3 或 2x-1= -3 或 x2+1= -3 故有 x=0 或-1BA当 x=0 时，A=-3,0,1,B=-3， -1,1
7、，不合题意 =-3；BA当 x= -1 时，A=-3,1,0 ,B =-4，-3,2，符合题意综上所述，x= -1.【解后反思】1、注意分类讨论；2、注意检验题意和集合中元素的互异性3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系例 3 (1)下列关系式: ;N R;高一(1)班学生的笔x|x 是高一(1)班学生;(,0)mQn3.14 xR|x - 0.其中正确命题的序号是 (2) 1 ;1 ; 0; 0,上述五个关系式中错误的个2,02,102,1,数是 2 个4、注意空集特殊性和两重性空集是任意集合的子集，即 ，是任一非空集合的真子集，即 A(A ). 有三种情况：A BA第 4 页,A B.另
8、外还要分清楚 , 的关系BA,与 0与例 4 下列五个命题 :空集没有子集;空集是任何一个集合真子集; 任何一个集合必有两个或0两个以上的子集;若 ，则 A、B 之中至少有一个为空集；其中真命题的个数 0 个例 5 已知集合 A=x|x2-ax+a2-19=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2+2x-8=0,若 ，BA且 AC= ，求 a 的值解： B=2,3 ,C=2，-4 由题意有 3 A, 2 A，把 3 代入 A 对应方程有 a -3a -10 =0 解方程有 a=5 或 -2.，2经检验 a=-2（a=5 舍去） 例 6 已知 A=x|ax-1=0,B=x|x2-5x+6=0
9、,若 =A,求 a 的值，并确定集合 AB解： =A, A B 而 B=2,3，当 a = 0 时，A = ，符合题意；当 a= 时，A=2 ，符合题意；当 a= 时，A=3 ，符合题意1213【解后反思】注意空集的特殊性，空集是任意集合的子集，即 B例 7 已知 A=x|x2+(m+2)x+1=0,且 A R+= .试求实数 m 的取值范围解：因为 A R+= .若 ，则方程 无实数解，2()10x所以 ， - 4 - 4.【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用5、 综合运用例 8 已知集合 A=x|x2+4ax-4a+3=0， B=x|x 2+(a-1)x+a2=0，C=x|x
10、2+2ax-2a=0， 其中至少有一个集合不是空集，求实数 a 的取值范围.分析：此题若从正面入手，要对七种可能情况逐一进行讨论，相当繁琐；若考虑其反面，则只有一种情况，即三个集合全是空集.【解】 当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，第 5 页即2122364(3)0)8a解此不等式组，得 1a所求实数 a 的取值范围为：a ,或 a-1.32点评:采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.三、理解数学：1已知全集 U=R，集合 A=x|x2-x-60，C=x|x 2-4ax+3a20时，C=
11、（a，3a） ，(1) 要使 AB C，集合数轴知， 解得 1a2；023a(2) 类似地，要使 必有UB， 解得 0342a423a【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.点评:研究不等式的解集的包含关系或进行集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便于分析与转化；注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原则.2 (1)已知集合 A=x|x2-3x+2=0,B=x|ax-2=0,若 ,求实数 a 的取值范围；AB(2)已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,若 = ，求 的取值范围；Aa若 中只有一个元素，求 的值并写出这个集合的元素；若 中至多有一个元素，求 的取
12、值范围；a若 中有两个元素，求 的取值范围(3)已知集合 A=x|x2-3x+2=0,B=x|x2-ax+2=0,若 ，求实数 a 的取值范围AB第 6 页解：(1) 而 B= 1,2 AB当 a = 0 时，B = 符合题意；当 a= 时，A=1 符合题意；当 a=1 时，A=2 符合题意；2 B(2)(3)略【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论【课后提升】1下列命题正确的有 个（1 ）很小的实数可以构成集合；（2 ）集合 1|2xy与集合 1|,2xy是同一个集合；（3）36,0.54这些数组成的集合有 5个元素；（4）集合 R,0|, 是指第二和第四象限内的点集答案：2若 2
13、1,AxB且 AB，则 x 答案： 0或3已知集合 023|2xa至多有一个元素，则 a的取值范围 答案： 9|,8或4下列表述中正确的是 （只填序号）：若 ABA则, ；若BA， 则； )(A)(B ； CBCUU答案：、5已知 xR，则集合 23,x中元素 x 所应满足的条件为 答案： 0,16满足 Ma,dcb的集合 M的个数为_答案：77某中学高一（1）班有 45人，其中参加数学兴趣小组有 28人，参加化学兴趣小组有 21人，若数学化学都参加的有 x人，则 x的取值范围是 答案： Z，2148设全集 UR， 2|10mx方 程 有 实 数 根 ，2| 0,Nnxn方 程 有 实 数 根
14、则 UCMN= 第 7 页答案： 1|4x9集合 22|90Aax， 2|560Bx， 2|80Cx满足 ,B， ,C实数 值为 答案： a10设 2,|,yxbxyaMb 答案： 91,3M11设 UR，集合 2|30Ax， 2|(1)0Bxmx；若 BACU)(， m= 答案： 1m或 212已知 5x， 12xm， A,则 的取值范围为 答案： 313设 是集合 A 中元素的一种运算，如果对于任意的 ,xy，都有 xyA，则称运算对集合 A 是封闭的，若 |2,Mxabz，则对集合 M 不封闭的运算是 （选填：加法、减法、乘法、除法） 答案：除法14设全集 ,集合 ， ,(,)UxyR(
15、,)12yx(,)4Nxy那么 等于_()CMN答案： 2,二、解答题：15 已知集合 , , ,|Axa|23,ByxA2|,CzxA且 ,求 的取值范围CBa解： ，当 时， ，|12302|4ax而 则 这是矛盾的；14,2a即 而第 8 页当 时， ，而 ，02a|04CxCB则 ； 134,2a即 即当 时， ，而 ，|x则 ； 2,3a即 13216已知 A=x|x2+3x+2 0, B=x|mx24x+m-10 ,mR, 若 AB=, 且 AB=A, 求 m 的取值范围.解：由已知 A=x|x2+3x+2 0得 BxA由或 1|得 .（1）A 非空 ，B= ；（2）A=x|x 1
16、x或 .2|xB另一方面， ，于是上面（2）不成立，否则 RA，与题设 矛盾.由上面分析知，B= .由已知 B=mxm,04|2结合 B=,得对一切 x 014,2mxR恒成立，于是，有217)1(60解 得的取值范围是 7|17 023,03,082 22 axCxBxA ，试求实数 a的取值范围，使 C解：依题意得： ，或1,4xx1xBA（1 ）当 Ca时 ，0， BA符 合 ；（2 ） 当 ax2时 ， ,要使 BA，则 41a，解得： ；（3 ）当 xCa20时 ， ,)(,， 0a不符合题设第 9 页综合上述得： 021a或 18已知集合 A(x, y)|yx 2mx1,B( x, y)|xy3, 0x3，若 AB 中有且仅有一个元素，求实数 m 的取值范围解：由题意， 得y x2 mx 1x y 3(0 x 3)x2(m1)x40 在0，3上有且仅有一解0 时方程有相等实根且在 0，3上，即m30 时，只有一根在0，3上，两根之积为 40，则 32 (m1)3 40，m 103所以，m 的取值范围是 m3 或 m 103
