1、戴氏教育集团 努力+勤奋+ 信心=成功1专题：构造全等三角形利用三角形的中线来构造全等三角形（倍长中线法）倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。1、如图 1，在 ABC 中， AD 是中线， BE 交 AD 于点 F，且 AE EF试说明线段 AC 与 BF 相等的理由简析 由于 AD 是中线，于是可延长 AD 到 G，使 DG AD，连结 BG，则在 ACD 和 GBD 中， AD GD， ADC GDB， CD BD，所以 ACD GBD（SAS） ，所以 AC GB， CAD G，而 AE EF，所以 CAD AFE，又 AFE BFG，所以 BFG G，所以 BF BG，所以
2、 AC BF说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形利用三角形的角平分线来构造全等三角形法一：如图，在ABC 中，AD 平分BAC 。在 AB 上截取 AE=AC，连结 DE。（ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。 ） 法二：如图，在ABC 中，AD 平分BAC 。延长 AC 到 F，使 AF=AB，连结 DF。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。)法三：在ABC 中，AD 平分 BAC 。作 DMAB 于 M，DNAC 于 N。(可以利用角平分线所在直线作对称轴，
3、翻折三角形来构造全等三角形)图 1GCFBAED戴氏教育集团 努力+勤奋+ 信心=成功2（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证 DM=DN）2、已知：如图，在四边形 ABCD 中，BD 是ABC 的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180 法一：证明：在 BC 上截取 BE，使 BE=AB，连结 DE。 法二：延长 BA 到 F，使 BF=BC，连结 DF。 BD 是ABC 的角平分线（已知） BD 是ABC 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） 1= 2（角平分线定义）在ABD 和EBD 中 在BFD 和BCD 中 AB=EB（已知） BF=BC（已知）1=2（已证） 1=
4、 2（已证）BD=BD（公共边） BD=BD（公共边）ABDEBD（S.A.S） BFDBCD（S.A.S） A3（全等三角形的对应角相等） FC（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等） DF=DC（全等三角形的对应边相等） AD=CD（已知） ，AD=DE（已证） AD=CD （已知） ，DF=DC （已证）DE=DC（等量代换） DF=AD（等量代换） 4=C（等边对等角） 4=F（等边对等角） 3+ 4180 （平角定义） ， FC （已证）A3（已证） 4=C （等量代换）A+ C180（等量代换） 3+ 4180（平角定义）A+ C180（等量代换） 法三：作 D
5、MBC 于 M，DNBA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是ABC 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC （已知）N=DMB=90 （垂直的定义）在NBD 和MBD 中 N=DMB （已证）1=2（已证）BD=BD（公共边）NBDMBD （A.A.S） ND=MD（全等三角形的对应边相等） DNBA，DMBC （已知）NAD 和MCD 是 Rt在 RtNAD 和 RtMCD 中 ND=MD （已证）AD=CD（已知） RtNAD RtMCD（H.L） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义） ，戴氏教育集团 努力+勤奋+ 信心=成功3A3（已证）A
6、+ C180（等量代换） 法四：作 DMBC 于 M，DNBA 交 BA 的延长线于 N。 BD 是ABC 的角平分线（已知）DNBA，DMBC （已知） ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等） DN BA，DM BC（已知）NAD 和MCD 是 Rt在 RtNAD 和 RtMCD 中 ND=MD （已证）AD=CD（已知） RtNAD RtMCD（H.L） 4=C（全等三角形的对应角相等） 3+ 4180（平角定义）A3（已证）A+ C180（等量代换）利用高可以高线为对称轴构造全等三角形3、在ABC 中，AD BC，若C2B 试比较线段 BD 与 AC+CD 的大小简析 由于
7、ADBC，所以可在 BD 上截取 DEDC，于是可得ADEADC（SAS） ，所以 AEAC，AEDC，又C2B，所以AED 2B，而AEDB+BAE，即BBAE，所以 BEAEAC，所以 BDBE +DEAE+DEAC+ CD 说明 利用三角形高的性质，在几何解题时，可以高线为对称轴构造全等三角形求解利用特殊图形可通过旋转变换构造全等三角形4、设点 P 为等边三角形 ABC 内任一点，试比较线段 PA 与PB+PC 的大小简析 由于ABC 是等边三角形，所以可以将ABP 绕点 A旋转 60到ACP 的位置，连结 PP，则 ACPABP（SAS ） ，所以 APAP，CP BP，APP是等边三
8、角形，即 PPPA ，在CPP中，因为 PPPC+ PC，所以 PAPB+PC说明 由于图形旋转的前后，只是位置发生了变化，而形状和大小都没有改变，所以对于等边三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形来解题E D CBA图 4PPBAC戴氏教育集团 努力+勤奋+ 信心=成功4利用利用平行线构造全等三角形5、ABC 中，ABAC，E 是 AB 上任意一点，延长 AC 到 F，连接 EF 交 BC 于 M，且 EMFM 试说明线段 BE 与 CF 相等的理由简析 由于 BE 与 CF 的位置较散，故可考虑将线段 CF 平移到 ED，所以过点 E 作 EDCF，则EDBACB，
9、EDM FCM，由于EMFM，EMD FMC ，所以 EMDFMC（AAS） ，所以EDCF ，又因为 ABAC，所以BACB ，即B EDB，所以 EBED ，所以 BECF 说明 这里通过辅助线将较散的结论相对集中，使求解的难度降低综合练习1、如图，已知ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B法一：证明：在 AB 上截取 AE，使 AE=AC，连结 DE。 AD 是BAC 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义）在AED 和ACD 中 AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边）AEDACD（S.A.S） C3（全等三角形的对应角相等 )ED=CD（
10、全等三角形的对应边相等）又 AB=AC+CD=AE+EB（已知）EB=DC=ED（等量代换）B=4（等边对等角） 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）C=2B（等量代换） 法二：延长 AC 到 F，使 CF=CD，连结 DF。 AD 是BAC 的角平分线（已知）1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD （已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）在ABD 和AFD 中F图 5MEAB CD戴氏教育集团 努力+勤奋+ 信心=成功5 AB=AF（已证） 1=2（已证） AD=AD（公共边）ABDAFD（S.A.S） FB（全等三角形的对应角相等） CF=C
11、D（已知） B=3（等边对等角） ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）ACB=2B（等量代换）2、如图，已知直线 MNPQ ，且 AE 平分BAN 、BE 平分QBA，DC 是过 E 的任意线段，交 MN 于点 D，交 PQ 于点 C。求证：AD+AB=BC。法一：证明：延长 AE，交直线 PQ 于点 F。法二：延长 BA 到点 G，使得 AG=AD，连结 EG。 法三：延长 BA 到点 G，使得AG=AD，连结 EG。3、已知：如图在 RtABC 中，BAC=90，AEBC， BD 是ABC 的角平分线， GF BC ，求证：AD=FC。证明：过 D 作 DHBC，垂足为 H。
