1、11、 (2007 年成都)已知:如图,ABC 中,ABC=45,CD AB 于 D, BE 平分ABC,且 BEAC 于 E,与 CD 相交于点 F,H 是 BC 边的中点,连结 DH 与 BE 相交于点 G。(!)求证:BF =AC;(2)求证: CE= 12BF;(3)CE 与 BC 的大小关系如何?试证明你的结论。2.(2012内江)已知ABC 为等边三角形,点 D 为直线 BC 上的一动点(点 D 不与B、C 重合) ,以 AD 为边作菱形 ADEF(A、D、E 、F 按逆时针排列) ,使DAF=60,连接 CF(1)如图 1,当点 D 在边 BC 上时,求证:BD=CF;AC=CF
2、+CD;(2)如图 2,当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时,结论 AC=CF+CD 是否成立?若不成立,请写出 AC、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由;(3)如图 3,当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时,补全图形,并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系23(08 河北中考第 24 题)如图 14-1,在 ABC 中, BC 边在直线 l 上, AC BC,且 AC = BC EFP 的边 FP 也在直线 l 上,边 EF 与边 AC 重合,且 EF=FP(1)在图 14-1 中,请你通过观察、测量,猜 想 并 写 出 AB 与 AP 所满 足 的
3、 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ;(2)将EFP 沿 直 线 l 向 左 平 移 到 图 14-2 的 位 置 时 , EP 交 AC 于 点 Q, 连 结 AP, BQ 猜想并 写出 BQ 与 AP 所满 足 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 ,请证明你的猜想;(3)将 EFP 沿 直 线 l向 左 平 移 到 图 14-3 的 位 置 时 , EP 的 延 长 线 交 AC 的 延 长 线 于 点 Q,连结 AP, BQ你认为(2)中所猜想的 BQ 与 AP 的 数 量 关 系 和 位 置 关 系 还 成 立 吗 ? 若 成 立 , 给 出 证 明 ; 若不 成 立 , 请说明
4、理由4.如图 1、图 2、图 3,AOB,COD 均是等腰直角三角形,AOBCOD90,(1)在图 1 中,AC 与 BD 相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。(2)若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达图 2 的位置,请问 AC 与 BD 还相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么?(3)若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后,到达图 3 的位置,请问 AC 与 BD 还相等吗?还具有上问中的位置关系吗?为什么?考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形分析:(1)根据等腰三角形的两腰相等进行解答(2)证明DOBCOA,根据全等三角形的对应边相等进行说明解答:解:(1)
5、相等在图 1 中,AOB,COD 均是等腰直角三角形,AOB=COD=90,OA=OB,OC=OD,0A-0C=0B-OD,AC=BD;(2)相等在图 2 中,0D=OC,DOB=COA,OB=OA,图 14-1 ( E) ( F) B C P A l l P A E B C Q F 图 14-2 l B P A 图 14-3 E F Q C 3DOBCOA,BD=AC点评:本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题,在旋转的过程中要注意哪些量是不变的,找出图形中的对应边与对应角5(2008 河南) (9 分)复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图,已知在 AB
6、C 中, AB=AC, P 是 ABC 内部任意一点,将 AP 绕 A 顺时针旋转至AQ,使 QAP= BAC,连接 BQ、 CP,则 BQ=CP ”小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图的分析,证明了 ABQ ACP,从而证得 BQ=CP 之后,将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外,原题中的条件不变,发现“ BQ=CP”仍然成立,请你就图给出证明考点:全等三角形的判定与性质;等腰 三角形的性质专题:证明题;探究型分析:此题的两个小题思路是 一致的;已知QAP= BAC,那么这两个等角同时 减去同一个角(2 题是加上同一个角) ,来证得QAB=PAC;而根 据旋转的性质知:AP=AQ,且已知 A
7、B=AC,即可由 SAS 证得ABQACP,进而得出 BQ=CP 的结论解答:证明:(1)QAP= BAC,QAP-BAP=BAC-BAP,即QAB= CAP;在BQA 和CPA 中,AQ=AP QAB=CAP AB=AC ,BQACPA(SAS) ;BQ=CP(2)BQ=CP 仍然成立,理由如下:QAP= BAC,QAP+ PAB=BAC+PAB ,即QAB= PAC;在QAB 和PAC 中,AQ=AP QAB=PAC AB=AC ,QABPAC(SAS) ,4BQ=CP点评:此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质;选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5(2009 山西
8、太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图中的两张三角形胶片 ABC 和 DEF 且 ABC DEF 。 将这两张三角形胶片的顶点 B与顶点E重合,把 绕点 顺时针方向旋转,这时 A与 相交于点 O当 DEF 旋转至如图位置,点 ()BE, CD, 在同一直线上时, AFD与 C的数量关系是 当 继续旋转至如图位置时, (1)中的结论还成立吗?AO 与 DO 存在怎样的数量关系?请说明理由考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质专题:探究型分析:(1)根据外角的性质,得AFD=D+ABC,DCA=A+ABC ,从而得出AFD=DCA;(2)成立由ABC DEF,可证明ABF= DEC
9、则ABF DEC,从而证出AFD= DCA;(3)BOAD由ABCDEF,可证得点 B 在 AD 的垂直平分线上,进而证得点O 在 AD 的垂直平分线上,则直线 BO 是 AD 的垂直平分线,即 BOAD解答:解:(1)AFD=DCA(或相等) (2)AFD=DCA(或成立) ,理由如下:方法一:由ABC DEF ,得 AB=DE,BC=EF(或 BF=EC) ,ABC=DEF,BAC=EDFABC-FBC=DEF- CBF,ABF=DEC在ABF 和DEC 中, AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC,BAF=EDCBAC-BAF=EDF- EDC,FAC= CDFAOD=FA
10、C+AFD=CDF+ DCA,AFD= DCA方法二:连接 AD同方法一ABFDEC,AF=DC由ABC DEF,得 FD=CA5FEDCBA在AFDDCA , AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA ,AFD=DCA(3)如图,BOAD方法一:由ABC DEF ,点 B 与点 E 重合,得BAC=BDF,BA=BD点 B 在 AD 的垂直平分线上,且BAD= BDAOAD=BAD-BAC,ODA=BDA-BDF,OAD=ODAOA=OD,点 O 在 AD 的垂直平分线上直线 BO 是 AD 的垂直平分线,BOAD方法二:延长 BO 交 AD 于点 G,同方法一,OA=OD在ABO
11、和DBO 中, AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO,ABO=DBO在ABG 和DBG 中, AB=DB ABG= DBG BG=BG ABGDBG,AGB=DGB=90BOAD点评:本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质,是基础知识要熟练掌握例 1 正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点,BE+DF=EF,求EAF 的度数.考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质分析:延长 EB 使得BG=DF,易证ABGADF(SAS)可得 AF=AG,进而求证AEGAEF 可得EAG=EAF,再求出EAG+EAF=90即可解题解答:解:延长
12、 EB 使得 BG=DF,在ABG 和ADF 中,由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ,可得ABGADF(SAS) ,DAF=BAG,AF=AG,又EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,AEGAEF(SSS) ,EAG=EAF,DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90,EAF=45答:EAF 的角度为 45点评:本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证EAG=EAF 是6NMEFACBA解题的关键例 2 D 为等腰 斜边 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。Rt
13、ABC(1) 当 绕点 D 转动时,求证 DE=DF。MN(2) 若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形专题:计算题分析:(1)连 CD,根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分ACB,CDAB,A=45,CD=DA,则BCD=45,CDA=90,由DMDN 得EDF=90,根据等角的余角相等得到CDE=ADF,根据全等三角形的判定易得DCEADF,即可得到结论;(2)由DCEADF,则 SDCE=SADF,于是四边形 DECF 的面积=SACD,由而AB=2 可得 CD=DA=1,根据三角形的面积公式易求得 SACD,从而得到四边形
14、 DECF 的面积解答:解:(1)连 CD,如图,D 为等腰 RtABC 斜边 AB 的中点,CD 平分ACB,CDAB,A=45,CD=DA,BCD=45,CDA=90,DMDN,EDF=90,CDE=ADF,在DCE 和ADF 中,DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ,DCEADF,DE=DF;(2)DCEADF,SDCE=SADF,四边形 DECF 的面积=SACD,而 AB=2,CD=DA=1,四边形 DECF 的面积=SACD=1 2 CDDA=1 2 点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了
15、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形 中, , , , ,ABCDABCDABC120, 绕 点旋转,它的两边分别交 (或它们的延长线)于0MN ,EF,当 绕 点旋转到 时(如图 1) ,易证 EFEF当 绕 点旋转到 时,在图 2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成B A立?若成立,请给予证明;若不成立,线段 , 又有怎样的数量关系?请写AC,(图 1)ABCDEFMN(图 2)ABCDEFMN(图 3)ABCDEFMN7出你的猜想,不需证明7(西城 09 年一模)已知:PA= ,PB=4,以 AB为一边作2正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧
16、.(1)如图,当APB=45时,求 AB及 PD的长;(2)当APB 变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应APB 的大小.图 1 图 2 图 3(I)如图 1,当点 M、N 边 AB、AC 上,且 DM=DN 时,BM、NC 、MN 之间的数量关系是 ; 此时 ; LQ(II)如图 2,点 M、N 边 AB、AC 上,且当 DM DN 时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?写出例8 (2005年马尾)用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合 .将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
17、(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E ,F时, (如图131) ,通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E ,F时(如图132) ,你在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由.考点:菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;旋转的性质分析:8(1)利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案;(2)根据已知可以得出BAE=CAF,进而求出ABEACF即可;(3)利用四边形AECF 的面积 S=SAEC+S ACF=S AEC+S ABE=SABC求出即可解答:解:(1)得
18、出结论是:BE=CF,证明:BAC=EAF=60,BAC-EAC= EAF-EAC,即:BAE=CAF,又AB=AC ,ABE=ACF=60, BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ,ABEACF(ASA) ,BE=CF,(2)还成立,证明:BAC=EAF=60,BAC+EAC=EAF+EAC,即BAE= CAF,又AB=AC ,ABE=ACF=60,即 BAE= CAF AB=AC ABE=ACF ,ABEACF(ASA) ,BE=CF,(3)证明:ABEACF,SABE=S ACF,四边形AECF 的面积S=SAEC+S ACF=SAEC+SABE=SABC;而SABC=1 2 S
19、菱形ABCD,S=1 2 S菱形ABCD点评:此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积,熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解:(1)BE=CF. 证明:在ABE 和ACF 中, BAE +EAC=CAF+EAC=60,BAE= CAF .AB=AC,B=ACF=60,ABE ACF (ASA ). BE=CF. (2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理,同样可以证明ABE 和ACF8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的几何图形,B,C,E 在同一条直线上,连结 DC9(1)请找出图 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有
20、未标识的字母) ;(2)证明:DCBE考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形专题: 证明题 图1图2DC EAB分析: (1)此题根据 ABC 与AED 均为等腰直角三角形,容易得到全等条件证明ABEACD;(2)根据( 1)的结论和已知条件可以证明 DCBE 解答: 证明:(1 )ABC 与AED 均为等腰直角三角形,AB=AC,AE=AD,BAC=EAD=90BAC+CAE=EAD+ CAE即BAE= CAD,在ABE 与ACD 中,AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD(2)ABEACD,ACD=ABE=45又ACB=45,BCD=ACB+ACD=90DCBE点评: 此题
21、是一个实际应用问题,利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题,关键是理解题意,得9、 正方形 ABCD 中,E 为 BC 上的一点,F 为 CD 上的一点,BE+DF=EF,求EAF 的度数.10FEDCBA考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质分析:延长 EB 使得BG=DF,易证ABGADF(SAS)可得 AF=AG,进而求证AEGAEF 可得EAG=EAF,再求出EAG+EAF=90即可解题解答:解:延长 EB 使得 BG=DF,在ABG 和ADF 中,由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ,可得ABGADF(SAS) ,DAF=BAG,AF=AG,又EF=D
22、F+BE=EB+BG=EG,AE=AE,AEGAEF(SSS) ,EAG=EAF,DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90,EAF=45答:EAF 的角度为 45点评:本题考查了正方形各内角均为直角,考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证EAG=EAF 是解题的关键7、D 为等腰 斜边 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。RtABC当 绕点 D 转动时,求证 DE=DF。MN若 AB=2,求四边形 DECF 的面积。10、如图,已知 AB=CD=AE=BC+DE=2,ABC=AED=90,求五边形 ABCDE 的面积考点:全等三角形的判定与性质专题:应用题分析:可延长 DE 至 F,使EF=BC,可得 ABC AEF,连 AC,AD,AF ,可将五边形 ABCDE 的面积转化为两个ADF 的面积,进而求出结论解答:解:延长 DE 至 F,使 EF=BC,连AC,AD,AF,AB=CD=AE=BC+DE,ABC=AED=90,CD=EF+DE=DF,在 Rt ABC 与 RtAEF 中, AB=AE ABC= AEF BC=EF Rt ABCRtAEF(SAS ) ,AC=AF,