1、2.6 数列求通项公式的典型方法数列是函数概念的继续和延伸，数列的通项公式及前 项和公式都可以看作项数 的nn函数，是函数思想在数列中的应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前 项和 可视为数列 的通项 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jnnSnS求数列通项公式方法较多，归纳起来常用的方法主要有一下几种：归纳法、公式法、累加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1归纳法【例 1】已知数列 试写出其一个通项公式：_,321967,8541
2、3练习 1已知数列 ，试写出下列数列的一个通项公式：254,7_练习 2数列 1， ， ， ，的一个通项公式是( )58 715 924Aa n(1) n1 Ba n(1) n1 Ca n(1) n1 2n 1n2 n 2n 1n2 3nDa n(1) n 12n 1n2 2n 2n 1n2 2n2 公式法 利用 anError!或利用等差、等比通项公式.【例 2】已知下面各数列 的前 项和为 的公式，求 的通项公式nnSna(1)Sn2n 23 n； (2)Sn3 n2.练习 1已知下面各数列a n的前 n 项和 Sn 的公式，求数列 an的通项公式(1) Snn 2n ； (2) Sn n
3、2 n1.12 12【例 3】已知数列a n的前 n 项和 Sn2a n1，求 an通项公式练习 1设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知a11，a n1 Sn(n1,2,3，)求证：数列 是等比数列n 2n Snn3 累加法累加法主要解决形如 形式的递推数列的求通项问题，该数列的)(1nfan具有典型的特点：可以求和其解题步骤是：把原递推公式转化为 ，()fn )(1nfan利用累加法(逐差相加法 )求解【例 4】已知数列 满足 ， ，求 na1212nana【例 5】已知数列 满足 ， ，求 na21nan21na练习 1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na练习
4、 2已知数列 中， 满足 ,求数列 的通项公式na1212nnana练习 3已知数列 中， 满足 ,求数列 的通项公式na111nanna4 累乘法累加法主要解决形如 形式的递推数列的求通项问题，该数列的 具1()naf ()fn有典型的特点：可以求积其解题步骤是：把原递推公式转化为 ，利用累乘法1()naf(逐差相加乘)求解【例 6】已知数列 满足 ， ，求 na112nana练习 1已知数列 满足 ， ，求 。na321nna1练习 2已知 ， ，求 31anna211)(na5构造等差、等比数列（构造法）构造法主要解决形如 类型的问题，其基本策略是对1()()0,1)nnaqpq进行变形
5、，使其可以变为一个新的等比或等差数列，求出新的等差或等比1naqp数列的通项公式，进而求出 的通项公式n类型 1： ，na(0,1)pq基本策略：若数列满足 ，则可考虑待定系数法设na(,)p为 常 数，构造新的辅助数列 是首1nnaxq( x其 中 为 待 定 系 数 ， xq满 足 nax项为 公比为 q 的等比数列，求出 再进一步求通项1axnaxna【例 7】已知数列 中， ， ，求 .na132练习 1已知数列a n满足 a11， ，求 的通项公式1nan练习 2已知数列a n的前 n 项和 满足 ，求 的通项公nS21()nanNna式类型 2： 1()1naqf【例 8】已知数列
6、 满足 ，求数列 的通项公式。n11323nnaa， na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，1321nna11233nna进而求出 ，即得数列11222()()()()33nna的通项公式，最后再求数列 的通项公式nna练习 1数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式na12112()nnZna练习 2已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na6取倒数法【例 9】已知数列a n满足 a12，a n1 ，则数列 是否为等差数列？2anan 2 1an说明理由练习 1 求数列 的通项公式.1,31aanna练习 2已知数列a n满足 a13，a nan1 2a n1 1(n2)(1)求 a2，a 3， a4；(2) 求证：数列 是等差数列，并写出 an的一个通1an 1项公式
