1、求数列通项公式常用的七种方法林彩凡 山东省东阿县实验高中 252200一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列 为等差或等比数列，根据通项公na式 或 进行求解.dnan11nqa例 1：已知 是一个等差数列，且 ，求 的通项公式.5,2na分析：设数列 的公差为 ，则 解得nad41da231521nn二、前 项和法：已知数列 的前 项和 的解析式，求 .nasna例 2：已知数列 的前 项和 ，求通项 .1n分析：当 时， = =1nns32n1n而 不适合上式，1sa1an三、 与 的关系式法：已知数列 的前 项和 与通项 的关系式，求 .nsnnsnana例 3：已知数列 的前 项
2、和 满足 ，其中 ，求 .na311分析： 1sn2- 得nna314即 31na2又 不适合上式123as数列 从第 2 项起是以 为公比的等比数列n342234nna12nn注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢” ，由 与 的关系式，nsa类比出 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验 是否适合用上面1nas 1的方法求出的通项.四、累加法：当数列 中有 ，即第 项与第 项的差是个有“规nnfan1 n律”的数时，就可以用这种方法.例 4： ，求通项2,011anna分析： n1233a54321nan2以上各式相加得21 1375nn 又 ，所以 ，而 也适合上式，0
3、a21n0a2nN五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列 中有 ，即第 项与第 项na1nfn1的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法.例 5： 求通项11,nna2,Nna分析： 1nn1na2,n故 32411341nnanA A 2,nN而 也适合上式，所以1anN六、构造法：、一次函数法：在数列 中有 （ 均为常数且 ） ，从表n1nakb,0k面形式上来看 是关于 的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:一般化方法：设 则1nnamk而 1nkb即m1k故 1nnaak数列 是以 为公比的等比数列，借助它去求1nbkna例 6：已知 求通项11,2na2,nNn分析： 12na12
4、nna数列 是以 为首项， 为公比的等比数列11nna故 2、取倒数法：这种方法适用于 （ 均为常数1nnkamp2,N,kmp） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比) 数列或类似0m于的式子.1nakb例 7：已知 求通项112,na,Nna1na112nna即 12n,N数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列na1212nna、取对数法：一般情况下适用于 （ 为非零常数）1klna,例 8：已知 求通项2113,nna分析：由 知2113,na0na在 的两边同取常用对数得即211lglgnnaa1l2n数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列lnl3故 112ggna123n七
5、、 “ （ 为常数且不为 ， ） ”型的数列求通项 .mncba1,0*,Nnmna例 9：设数列 的前 项和为 ，已知 ，求通项ns *11,3Nsan.n解： nnsa3112两式相减得 113nna即 1na上式两边同除以 得 （这一步是关键）13n9231nn令 得 nc21nc（想想这步是怎么得来的）321nn n数列 从第 项起，是以 为首项，以 为公比的nc 932ac2等比数列故 nnnn aac 323293232 2nna又 ，所以nc3123nna不适合上式a12321nnn注：求 （ 为常数且不为 ， ） ”型的数列求通项公式mncba1,0*,Nm的方法是等式的两边同除以 ，得到一个“ ”型的数列，再用1nc1nakb上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出 的通式，从而求出 .另外cna本题还可以由 得到 即 ,按照上面nnsa31nnss31 ns321求 的方法同理可求出 ,再求 .您不不妨试一试.nna除了以上七种方法外，还有嵌套法（迭代法） 、归纳猜想法等，但这七种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握.地址：山东省东阿县实验高中姓名：林彩范（收）邮编：Email:电话：13780729539 036352178013
