1、极限求解总结1、极限运算法则设 , ,则lim=lim=(1) lim()=limlim=;(2) lim=limlim=;(3)lim=limlim=(0).2、函数极限与数列极限的关系如果极限 存在， 为函数 的定义域内任一收lim0() ()敛于 的数列，且满足: ，那么相应的函数值0 0(+)数列 必收敛，且()lim()=lim0()3、定理（1） 有限个无穷小的和也是无穷小；（2） 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1） 常数与无穷小的乘积是无穷小；（2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3） 如果 存在，而 c 为常数，则 lim()lim()=lim()（4） 如果 存
2、在，而 n 是正整数，则 lim()lim()=lim()5、复合函数的极限运算法则设函数 是由函数 与函数 复合而成=() =() =()的， 在点 的某去心领域内有定义，若=() 0，且存在 ，当 时，lim0()=0， lim0()= 00 (0,0)有 ，则()0lim0()=lim0()=6、夹逼准则如果(1) 当 (或 M)时,(0,) | ()()()(2)lim0()()=, lim0()()=那么 存在，且等于 Alim0()()7、两个重要极限（1） lim0sin =1（2） lim(1+1)=8、求解极限的方法（1）提取因式法例题 1、求极限lim0+22解：lim0+
3、22 =lim0(22+1)2 =lim0(1 )2=1例题 2、求极限lim022()2(,.0)解：lim022()2=lim02()212()12=0222ln(ln)2=1ln例题 3、求极限 lim+(11+1)(0,1)解：lim+1+1( 1(+1)1)=lim+1+1 1(+1)ln=+ (+1)1+1ln=+21+11+1ln=（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题 1、 limsin()sin()解：令 =+limsin()sin()=lim0sin(+)sin(+)=(1)lim0sinsin=(1)例题 2、lim11111解：令 x=y+1=l
4、im11111lim1(1+)11(1+)11=例题 3、 lim+x22+33+2解：令 y=1=lim+x22+33+2=lim0+ 12+1313+12lim0+1+31+ =16（3）等价无穷小替换法0 sinsin1 tantan11ln(1+) 1ln1cos22 (1+)1注：若原函数与 x 互为等价无穷小，则反函数也与 x 互为等价无穷小例题 1、lim0(+2 )1(.0)解：lim0(+2 )1=lim01ln+2=lim01ln(1+22 )=lim0(1)+(1)2=例题 2、 lim+ln(1+)ln(1+)(0)解：lim+ln(1+)ln(1+)=lim+ln(1
5、+)=lim+ln(+1)=lim+ln+ln(+1)=lim+ln(+1)=+ln(+1) =例题 3、lim0ln(sin)2+)ln(2+2)2解：lim0ln(sin)2+)ln(2+2)2=lim0ln(sin)2+)ln(2+2)2=lim0ln(sin)2 +1)ln(22+1)=0(sin)222 =1例题 4、 lim0sinsin解： lim0sinsin=lim0sin(sin1)sin =0sin(sin)sin =1例题 5、 lim111解： lim111=lim1ln11 =1ln1令 y=x-1原式= lim0(+1)ln(+1) =1例题 6、lim21(si
6、n)+(1(sin)(1(sin)(.0)解：令 =1sinlim21(sin)+(1(sin)(1(sin)=lim0+ 1(1)+1(1)1(1)=0+(+)=+型求极限（ 4） 1例题 1、lim4(tan)tan2解：解法一（等价无穷小）：lim4(tan)tan2=lim4(tan2)ln(tan)=lim4(tan2)ln1+(tan1)=lim4(tan2)(tan1)=lim4 2tan1(tan)2(tan1)=lim42tan1+tan=1解法二（重要极限）：lim4(tan)tan2=lim41+(tan1) 1tan1tan2(tan1)=lim4(tan2)(tan1
7、)=lim4 2tan1(tan)2(tan1)=lim42tan1+tan=1（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题 1、 lim(1+2+3+4)1解： 41+2+3+444所以 lim(1+2+3+4)1=4推广： 0 =1,2,3lim(1+2+3+)1=max1例题 2、 lim01解：11111) 0 111所以 0+ lim01=12) 0单调递增+1= 20 +1=(1+)+(1)求极限 lim解：+1=(1+)+(1+1)+1 =(2)(1)(+)(+1)21=12+1当 1 211 +1= 11+ lim解： （整体无单调性）+1= 1(1+)(1+1)2+121= 11+2 11+22= 222(1+2)(1+22)= 2123(1+2)(1+22)(1+21)(1+23)31= 11+210所以 单调递减，同理， 单调递增2+1 2有因为 01(2)故 和 均存在，分别记为 A,Blim2+1 lim22+1= 11+2 2= 11+21 即 =11+ = 11+
