1、18.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例 1 123limxx解：原式= 。43)213)(lim)23)(li 11 xxx注：本题也可以用洛比达法则。例 2 )12(limnn解：原式= 。23121lim(li nnn 分 子 分 母 同 除 以2例 3 解：原式 。nn32)1(lim 1)32(lim3nn上 下 同 除 以3两个重要极限（1） 1sinlm0x（2） ； exx10)(li exx)1(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如： ， ， ；等等。13sinlm0xx exx210)(li exx3)1(lim利用
2、两个重要极限求极限例 5 解：原式= 。203cos1limxx 61)2(sinlm32sinl 200 xxxx注：本题也可以用洛比达法则。例 6 =xx20)sin31(lim6sin6si310sin6i310 )in1(lm)sin1(lim exx xxx3例 7 = 。nn)12(lim 31313)(lim)(li ennnn4等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是 0） 。定理 3 当 时，下列函数都是无穷小（即极限是 0） ，且相互等价，即有：0x 。sintaxrcsinxarct)1ln(1xe说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成 时（ ）
3、 ，仍有上面的等)g0价关系成立，例如：当 时， ； 。0x13xex)1ln(2x2x定理 4 如果函数 都是 时的无穷小，),(),(1gff 0且 ， ，则当 存在时， 也存在且等)(xf1f)(xg1)(lim10xx)(lim0xgfx于 ，即 = 。)(f)(lim10x)(li0fx)(li10gfx利用等价无穷小代换（定理 4）求极限例 9 )arctn(31lim20xx解： ， ， 原式= 。)31l(时 ，x)arctn(2x3lim20x例 10 xexsinlimi0解：原式= 。1sin)(limsi)1(li i0insi0 xexxxxx4注：下面的解法是错误的
4、：原式= 。1sinlimsin)1()(lim0i0 xxexx正如下面例题解法错误一样：。0lisintali 3030 xxx例 11 xxsin)1ta(lim20解： ，等 价与是 无 穷 小 ，时 ，当 xx1sin)sitan(1i 222所以， 原式= 。 （最后一步用到定理 2）01sinlmsinli020 xxxx五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。例 1. )1sin(lim20xxe2. xxln)1si(lm05洛比达法则定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数
5、和)(xf满足：（1） 和 的极限都是 0 或都是无穷大；)(xg)(fg（2） 和 都可导，且 的导数不为 0；xf )(xg（3） 存在（或是无穷大） ；)(limxgf5则极限 也一定存在，且等于 ，即 = )(limxgf )(limxgf)(lixgf)(limxf。说明：定理 5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“ ”型或“ ”型；条件（2）一般都满足，而条件0（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。利用洛比达法则
6、求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。例 12 （例 4）解：原式= 。 （最后一步用到了重要极203cos1limxx 61sinlm0x限）例 13 解：原式= 。12coslix21sin2lix例 14 30sinlimxx解：原式= = 。 （连续用洛比达法则，最后用重要极20cos1lix61inlm0x限）例 15 xxsincolim20解： 31sinlm3)sin(coslimco20 20xxx xx原 式6例 18 )1ln(lim0xx解：错误解法：原式= 。01li0xx正确解法：
7、。原 式 21)(lim21li )ln(i)ln(i0000 xxxxxxx应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。例 19 xxcos3inli解：易见：该极限是“ ”型，但用洛比达法则后得到： ，此极0 xxsin3co21lim限不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：原式= （分子、分母同时除以 x = （利用定理 1 和定理 2）xxcos3in21lim316连续性定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 是函数0x的定义去间内的一点，则有 。)(xf)()lim00xffx利用函数的连续性（定理 6）求极限7例 4 xxe12lim解：因为 是函数 的一
8、个连续点，所以 原式= 20xef12)( e421。7极限存在准则定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例 1. 设 0a， ),21(, 1121 nxaxaxn求极限 nlim。定理 8（准则 2） 已知 为三个数列，且满足：,nnzyx（1） ),31(,zxynn（2） ，aynlimaznli则极限 一定存在，且极限值也是 a ，即 。nxli axnlim10. 夹逼定理8利用极限存在准则求极限例 20 已知 ，求),21(,2,11 nxxn nxlim解：易证：数列 单调递增，且有界（0 2） ，由准则 1 极限 存n nxnxli在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：axnlimn21，解得： 或 （不合题意，舍去）a22a所以 。linx例 21 )121(lim22 nn 解： 易见： 11122222 nn因为 ，lim2n 1lim2n9所以由准则 2 得： 。1)21(lim22 nnn 9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。12. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。8. 利用复合函数求极限
