1、1求解变力做功的十种方法功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法。一. 动能定理法例 1. 一质量为 m 的小球，用长为 L 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平力 F 作用下，从平衡位置 P 点很缓慢地移到 Q 点,如图 1 所示，此时悬线与竖直方向夹角为 ,则拉力 F 所做的功为：（ ） A： B：cosgL)cos1(gC.： D：inFF分析：在这一过程中，小球受到重力、拉力 F、和绳的弹力作用， 只有重力和拉力做功，由于从平衡位置 P 点很缓
2、慢地移到 Q 点.，小球的动能的增量为零。那么就可以用重力做的功替代拉力做的功。解：由动能定理可知： 0GFW)cos1(mgLGF故 B 答案正确。小结：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，利用动能定理可以求变力做功是行之有效的。二. 微元求和法例 2. 如图 2 所示，某人用力 F 转动半径为 R 的转盘，力 F 的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。解：在转动转盘一周过程中，力 F 的方向时刻变化，但每一瞬时力 F 总是与该瞬时的速度同向（切线方向） ，
3、即 F 在每瞬时与转盘转过的极小位移 都与当时的 F 方向同向，因而在转动一周过程中，力 Fss123、 、 n做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：WFsssRn( )123小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可化曲为直,把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用 计算功，而且变力所做功应等于变力在WFsco各小段所做功之和.三. 等值法等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用 W=FScosa 计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。例
4、3.如图 3，定滑轮至滑块的高度为 H，已知细绳的拉力为 F 牛（恒定），滑块沿水平面由 A 点前进s 米至 B 点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为 和 。求滑块由 A 点运动到 B 点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。分析：在这物体从 A 到 B 运动的过程，绳的拉力对滑块与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒 F 做的功，位移可以看作拉力 F 的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。解：由图 3 可知，物体在不同位置 A、B 时，猾轮到物体的绳长分别为：QLP F图 1O图 2图 32sin1Hsin2那么恒力
5、F 的作用点移动的距离为： )sin1i(21Hs故恒力 F 做的功： )insi(HW小结：把变力做功巧妙转化为恒力做功也是一种很有效的求解方法。四. 平均力法例 4：如图 4 所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为 h，其密度为水的密度 的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为 2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。解:木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法
6、求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降 ，水面上升 根据水的1x2x体积不变，则： 得 所以当木块下降 时，木块恰好完全浸没在水中，212xh21 4h1)(ggF浮所以 42211 804ghW木块恰好完全浸没在水中经 h53到容器底部，压力为恒力 2gF所以 422 85h故压力所做的功为： 4213ghW小结：用平均值求变力做功的关键是先判断変力 F 与位移 S 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力 和末状态的力 。当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力 ，然后再利用1F2 21F功的公式 进行求解。sW五. 图象法例 5.用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成
7、正比，每次击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板 1cm，则第二次击钉子进入木板的深度为多少？解:铁锤每次做功都是用来克服铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比，F=kx，以 F 为纵坐标，F 方向上的位移 x 为横坐标，作出 Fx 图象，如图 5，函数线与 x 轴所夹阴影部分面积的值等于 F 对铁钉做的功.由于两次做功相等，故有：S 1=S2(面积) 即：kx12= k(x2+x1)(x2x 1) 得 cmx2所以第二次击钉子进入木板的深度为： )1(1小结：某些求変力做功的问题，如果能够画出変力 F 与位移 S 的图像，图 4图 5Fx1x22kx1OS3则
8、 F-S 图像中与 S 轴所围的面积表示该过程中変力 F 做的功。六. 用公式 W=Pt 求解例 6.质量为 4000 千克的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经 100/3 秒的时间前进 425 米，这时候它达到最大速度 15 米/秒。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？分析：汽车在运动过程中功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时车速达到最大值。已知汽车所受的阻力不变，虽然汽车的牵引力是变力，牵引力所做的功不能用功的公式直接计算。但由于汽车的功率恒定，汽车的功率可用 P=Fv 求，因此汽车所做的功则可用 W=Pt 进行计算。解：当速度最大时牵引力和阻力相等，
9、mfvFP汽车牵引力做的功为 根据动能定理有：tfvWm21mvfsW解得： f=6000(N)对于变力做功的问题，首先注意审题，其次在此基础上弄清物理过程，再建立好物理模型，最后使用以上谈到的各种方法进行解题，就会达到事半功倍的效果。小结：对于机器以额定功率工作时，比如汽车、轮船、火车启动时，虽然它们的牵引力是变力，但是可以用公式 W=Pt 来计算这类交通工具发动机做的功。对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据来求牵引力这个变力所做的功。WPt七. 机械能守恒法例 7. 如图 7 所示，质量 m 为 2kg 的物体，从光滑斜面的顶端 A 点以的初速度滑下，在 D点与弹簧接触并将弹簧压缩到
10、B 点时的速度vms05/为零，已知从 A 到 B 的竖直高度 ，求弹簧的弹力对物体所做的功。h5解：由于斜面光滑，故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取 B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处 D 点为弹性势能的零参考点，则对状态 A： 对状态 B：Emghv02EW弹 簧 0由机械能守恒定律得： WghmvJ弹 簧 0215小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。八. 功能原理法例 8. 如图 8 所示，将一个质量为 m，长为 a，宽为 b 的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做多少功
11、？解：在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用 求解。该过程中，物体要经历图 8 所示的状态，当矩WFlcos形对角线竖直时，物体重心高度最大，重心变化为： hab122由功能原理可知 EPk外 当 时， 最小，为： 。Ek0W外 mghabp外 122小结：做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功如图 7图 84的情况，则给求変力做功提供了一条简便的途径。关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。九. 能量守恒法例 9. 如图 9 所示，一劲度系数 k=800
12、N/m 的轻弹簧两端各焊接着一个质量为 m=12kg 的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力 F 在上面物体 A 上，使 A 开始向上做匀加速运动，经0.4s，B 刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g 取 ）求：（1）此过程中所加外02ms/力 F 的最大值和最小值。 （2）此过程中力 F 所做的功。解：（1）设 A 上升前，弹簧的压缩量为 ，B 刚要离开地面时弹簧的伸长量为 ，Ax1 x2上升的加速度为 。aA 原来静止时，因受力平衡，有： kmg1设施加向上的力，使 A 刚做匀加速运动时的最小拉力为 ，有：F1kxmga1B 恰好离开地面时，所需的拉力最大，设
13、为 ，对 A 有：22 对 B 有： 由位移公式，对 A 有：kxmg2 xt12由式，得： 由式，解得km12015. ams3752./分别解得： FN248 （2）力作用的 0.4s 内，在末状态有 ，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他x12形式的能转化为系统的重力势能和动能，即： WmgxatJF122495().小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。十. 利用 W=qU在匀强电场中移动电荷的时候，可以直接根据恒力做功的公式求解。如果是在非匀强电场中，由于电场力是变力，不能用功的定义式求解，但若已知电荷的电量和电场中两点间的电势差，我们就可以用公式 进行求解。qU例 10. 电场中有 A、B 两点，它们的电势分别为 ，把电量ABV1020，的电荷从 A 点移动到 B 点，是电场力做功还是克服电场力做功？做了多少功？C2017解：电荷从 A 到 B 的过程中，电场力作的功为：Wq JB()().21020617 5因为 ，所以是电场力做功。小结：求非匀强电场中电场力做功时，一般都用该方法求解。综上所述，变力做功的求解有很多方法，一个个看似复杂，无法求解变力做功的问题，只要灵活运用以上方法，就一定能够手到擒来。图 9
