1、求通项公式的几种方法山东 徐美春 聂洪玉数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法一、观察法已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式例 1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式（1） ； （2） 35， 345812，解：（1） ； （2） na21()nna二、由 的前 项和 与 间的关系，求通项nnS已知数列 的通项公式，可以求出 的前 项和 ；反过来，ana123nnSaa若已知 的前 项和 ，如何求 呢？nnSn，121121(2)nSaaaa ， 当 时， ；当 时， ， nS故 1()2.nnaS， 此处应注意 并非对所有的 都成立，而只对当
2、 且为正整数时成1nSnN2n立，因此由 求 时必须分 和 两种情况进行讨论nSa2例 2 设数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式n3()nSAna解：当 时， ；1211a当 时， 2n 23()164nnSnn此式对 也适用64()naN点评：利用数列的前 项和 求数列的通项公式 时，要注意 是否也满足nnSna1a得出的表达式，若不 满足，数列的通 项 公式就要用分段形式写出1(2)nnS三、利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项例 3 等差数列的前 项和记为 ，已知 ，求通项 nnS102035a，na解： ， 10930ad， 25，得
3、代入，得 102d12ana四、利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式例 4 根据下列条件，求数列的通项公式 ()naN（1） 数列 中， ；na21332n，（2） 数列 中， ；11a（3） 数列 中， nann，解：（1）因为 ，所以 213123a又 ，所以 成等差数列，公差为 1nan所以 3()3（2）因为 ，所以 ，1na213a， ， ，32431()n将上面 个式子叠加，得 ，21 (1)33(21)3()n nann所以 22331()na（3）由 ，变形为 ，1na 12na， 21a3214n，将上面的式子叠乘，得 12na1()2na五、两式相减，消项求通项例 5 数列 满足 ，求 na123(1)2naa na解：由题意 ，1231()() 又 ，123 2naa两式相减，得 (1)n()n又 时，也适合上式， 13()na总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律
