1、1任意角的三角函数（第一课时）教学目标1掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断） ；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、 （正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标
2、系；六个比值的确定性（ 确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着 的变化而变化）. 二、教学过程执教线索：回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）问题情境：能推广到任意角吗？它山之石：建立直角坐标系（为何？）优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）自主定义：任意角三角函数定义登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）例题与练习回顾小结布置作业 （一）复习引入、回想再认开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习
3、了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题） ，请同学们回想，再明确一下：（情景 1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调：传统定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值和它对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 叫做自变量，自变量 x 的取值范围叫做函数的定义域.现代定义：设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数，在集合 B 中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射 ：AB 为从集合 A
4、 到集合 B 的一个函数，记作： y= f（x） ，xA ，其中 x 叫自变量,自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域. （情景 2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？对边邻边sin= ，con= ，tan=斜 边对 边 斜 边邻 边 邻 边对 边（图 1）2引伸铺垫、创设情景（情景 3）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问
5、题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数. 教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！把锐角 安装（如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴非负半轴重合）在直角坐标系中，在角 终边上任取一点 P，作 PMx 轴于 M，构造一个 RtOMP，则 MOP=（锐角） ，设 P（x,y） （x0、y0） ， 的临边 OM =x、对边 MP=y，斜边长|OP=r.根据锐角三角函数定义用 x、y、r 列出锐
6、角 的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数比值：（情景 4）各个比值与角之间有怎样的关系？比值是角的函数吗？追问：锐角 大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：保持 r 不变，让 P 绕原点 O 旋转即 在锐角范围内变化，六个比值 随之变化的直观形象。结论是：比值随 的变化而变化. 引导学生观察图 3，联系相似三角形知识，探索发现： 对于锐角 的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随 P 在终边上的移动而变化 . 得出结论(强调) ：当 为锐角时，六个比值随 的变化而变化；但对于锐角 的每一个确定值，六个比值都是确定的
7、，不会随 P 在终边上的移动而变化. 所以，六个比值分别是以角 为自变量、以比值为函数值的函数. （三）分析归纳、自主定义（情境 5）能将锐角的比值情形推广到任意角 吗?xOMP(x,y)ysin= = ，con= = ，tan= =斜 边对 边 r斜 边邻 边 rx邻 边对 边 xy?= ?= ?=y（图 2）xOMPy（图 3）PM3水到渠成，师生共同进行探索和推广：对于一个任意角 ，它的终边所在位置包括下列两类共八种情形（投影展示并作分析）：终边分别在四个象限的情形： 终边分别在四个半轴上的情形：；（指出：不画出角的方向，表明角具有任意性）怎样刻画任意角的三角函数呢？研究它的六个比值：（
8、板书）设 是一个任意角，在 终边上除原点外任意取一点 P（x，y） ，P 与原点 O 之间的距离记作 r（r= 0） ，列出六个比值：2yxyrxyrx=k+/2 时，x=0，比值 y/x、r/x 无意义；= k 时，y=0，比值 x /y、r /y 无意义.追问： 大小发生变化时，比值会改变吗？先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使 r 保持不变，P 绕原点 O 逆时针、顺时针旋转即角 变化，六个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随 的变化而变化. 再引导学生利用相似三角形知识，探索发现： 对于任意角 的每一个确定值，六个比值都是确定的，不会随 P 在
9、终边上的移动而变化. 综上得到（强调）：当角 变化时，六个比值随之变化；对于确定的角， 六个比值（如果存在的话）都不会随 P 在角 终边上的改变而改变，六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析 ). P(x,y)yxOyxP(x,y)O角 终边P(x,y)yxOP(x,y)yxO（图 4）P(x,y)yxO P(x,y)yxOP(x,y)yxOP(x,y)yxO（图 5）4因此，六个比值分别是以角 为自变量、以比值为函数值的函数.根据历史上的规定，对比值进行命名，指出英文记法和读法，记作（承前作复合板书）：=sin（正弦） =cos（余弦） =tan（正切） ryrxxy=cs
10、c（余割） =sec（正弦） =cot（余切） 教师强调：sin 表示 sin 与 的乘积吗？不是，sin 是函数记号，是一个整体,相当于函数记号 f（x）. 其它几个三角函数也如此投影显示图六，指导学生分析其对应关系，进一步体会其函数内涵：（图六） 指导学生识记六个比值及函数名称. 教师指出：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数，三角函数有非常丰富的知识和思想方法，我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法，对于余切、正割、余割，只要同学们了解它们的定义就够了（遵循大纲要求）. 引导学生进一步分析理解：已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，对于每一个
11、确定的实数，把它看成一个弧度数，就对应着唯一的一个角，从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此， （板书）三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，这将为以后的应用带来很多方便. （四）探索定义域（情景 6） （1）函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域. 正弦函数 sin 的对应法则是什么？正弦函数 sin 的对应法则，实质上就是 sin 的定义：对 的每一个确定的值，有唯一确定的比值 y/r 与之对应，即 y/r= sin.(2)布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出六个三角函数的定义域，填写下表：三角函数 sin cos tan cot csc secyr正弦
12、xr余弦 yx正切ry余割 rx正割 xy余切5定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角 的取值范围. 关于 sin=y/r、cos=x/r，对于任意角 （弧度数） ，r0，y/r、x/r 恒有意义，定义域都是实数集 R. 对于 tan=y/x，= k+/2 时 x=0，y/x 无意义，tan 的定义域是：|R，且 k+/2 . 教师指出: sin、cos、tan 的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟，cot 、csc 、sec 的定义域不要求记忆. （关于值域，到后面再学习）.（五）符
13、号判断、形象识记（情景 7）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析，r0,三角函数值的符号决定于x、y 值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：（同好得正、异号得负）sin= y/r：上正下负横为 0 cos=x/r：左负右正纵为 0 tan=y/x：交叉正负练习巩固、理解记忆1、自学 例 1：已知角 的终边经过点 P（2 ，-3） ，求 的六个三角函数值. 要求：读完题目，思考：计算什么?需要准备什么? 闭目心算，对照解答，模仿书面表达格式，巩固定义. 课堂练习：p19 题 1：已知角 的终边经过点 P（-3 ，-1） ，求 的六个三角函数值. 要求心
14、算，并提问中下学生检验，- -点评：角 终边上有无穷多个点，根据三角函数的定义，只要知道 终边上任意一个点的坐标，就可以计算这个角的三角函数值（或判断其无意义）. 补充例题：已知角 的终边经过点 P（x，-3 ） ，cos=4/5 ，求 的其它五个三角函数值. 师生探索：已知 y=-3，要求其它五个三角函数值，须知 r=？，x=？.根据定义得 = （方程思想） ， x0，解得 x=4，从而 - -.解答22)3(x54略.y x y x y x62、自学 例 2：求下列各角的六个三角函数值：(1) 0；(2)/2 ；(3) 3/2.提问，据反馈信息作点评、修正. 师生探索：紧扣三角函数定义求解
15、，首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢？取定哪一点呢？任意点、还是特殊点？要灵活，只要能够算出三角函数值，都可以。取特殊点能使计算更简明。课堂练习：p19 题 2.（改编）填表：角 （角度） 0 90 180 270 360角 （弧度）sincostan处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义. 强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如 0、/2 、3/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值. （六）回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，-，在终边上任意取定一点 P， -）2你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义，-）3你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？（根据定义，想象坐标位置， -）（七）布置课外作业1书面作业：习题 4.3 第 3、4、5 题.2认真阅读 p22“阅读材料：三角函数与欧拉” ，了解欧拉的生平和贡献，
