1、浅谈初中数学教学中的变式教学内容摘要：变式教学是连接双基与创新的纽带。在数学课堂中被广泛应用。在新课程背景及最新的“135”教学模式下充分运用变式教学，可拓展学生的思维促使学生自觉将数学学习技术内化为主体需要，使教学过程成为有利于学生积极探究的过程，提高学生的学习效能。本文首先提出变式教学的本质含义、设计变式的原则，然后论述变式在各种数学题型中的应用，最后强调变式教学的价值。关键词：“135”数学；变式教学；变式原则；有效教学数学新课程标准指出：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。数学教学过程不仅是
2、课本知识的传授，更重要的是对学生能力的训练和情操的培养，尤其要重视学习能力和学习方法的培养。抓住典型习题，寻求多种解题途径，促使学生的思维向多层次、多方向发散。注重这种变式模式的教学，对提高学生分析问题和解决问题的能力大有裨益。所谓“135”课堂教学模式，是指课堂教学要贯穿一条主线，达成三项要求，抓好五步教学。在围绕“突现主体，体现探究”这一主线下，实施变式教学更加体现其重要性。因此，在例题、习题教学中，当学生获得某种基本解法后，教师应引导学生发掘例、习题的潜在因素，通过改变题目的条件、探求题目的结论、改变情境等多种变式途径，强化学生对知识和方法的理解，帮助他们对问题进行多角度、多层次的思考。
3、类 别 初中数学一、数学变式教学的本质含义数学变式教学，是指通过不同角度、不同的侧面、不同的背景，从多个方面变更所提供的数学对象或数学问题的呈现形式，使事物的非本质特征发生变化而本质特征保持不变的教学形式。 初中数学变式教学，对提高学生的思维能力、应变能力是大有益处。变式教学在教学过程中不仅是对基础知识、基本技能和思维的训练，而且也是有效实现新课程三维教学目标的重要途径。 二、变式教学中遵循的几个原则2.1 一题多解，触类旁通通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。【案例 1】 如何复原一个被墨迹浸渍的等腰三角形？（只剩一个底角和一条
4、底边）学生给出的三种“补出”方法： 量出C 度数，画出BC，B 与C 的边相交得到顶点 A； 作 BC 边上的中垂线，与C 的一边相交得到顶点 A；“对折” 。看画出的三角形是否为等腰三角形，由此引发全等三角形判定定理的证明。这道题从不同的角度进行多向思维，把三角形全等的知识点有机地联系起来，发展了学生的多向思维能力。 学生总结出该题的三种常规的办法：作A 的平分线，利用“角角边”过 A 作 BC 边的垂线，利用“角角边”作 BC 边上的中线， “边边角”不能证明两种创造性的证法：假定 ABAC,由“大边对大角”得出矛盾ABCACB，应用“角边角”2.2 一题多变，横向联想通过一题多变，可避免
5、题海战术，让学生掌握数学知识之间的联系，享受数学的相似美，提高学生归纳概括的能力。【案例 2】 如左图，有一块三角形余料 ABC，它的边 BC=120mm，高 AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上。问加工成的正方形零件的边长为多少 mm？NEB CQ MDPAAPD MQ CBE N变式 1 将“正方形 PQMN”改为“矩形 PQMN”。问矩形的长和宽分别为多少时，所截得的矩形面积最大？最大面积是多少？余料的利用率是多少？变式 2 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5 ，面积为 1.5 ，工m2人师傅要把它加工成一
6、个面积最大的正方形桌面，请甲乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1）所示，乙设计方案如图（2）所示。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。 （加工损耗忽略不计，计算结果可保留分数）ADFCBED P EFHGBCA图（1） 图（2）变式 3 已知ABC 是直角三角形，ACB90，AC80，BC60，如图所示，把边长分别为 , , , 的 n 个正方形依次放入ABC1x23x中，则第 1 个正方形的边长 = ；第 n 个正方形的边长 = 1 nx(用含 n 的式子表示，n1)。ABCx3x2x1变式 4 在 RtABC 中，ACB90，AC4，BC3.（1）如图（1） ，四边形 DEFG
7、 为 RtABC 的内接正方形，求正方形的边长。（2）如图（2） ，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接于RtABC，求正方形的边长。（3）如图（3） ，三角形内有并排的 n 个相等的正方形，它们组成的矩形内接于 RtABC，求正方形的边长。G FED BCA KHG FEDACB ACB 图（1） 图（2） 图（3）2.3 一题多导，创设情境对于大多数学生无从下手的题，在教学过程中可立足于学生的思维基础，分几个小问题引导，启发学生，创设良好的问题情境，使学生最大限度地参与解决问题的全过程。【案例 3】 在已知 RtABC 中，ACB90，AC6，BC8。（1）如图，若半径为
8、的 是 RtABC 的内切圆，求 。1r1O1r（2）如图，若半径为 的两个等圆 、 外切，且 与 AC、212OAB 相切， 与 BC、AB 相切，求 。2r（3）如图，当 n 大于 2 的正整数时，若半径 的 n 个等圆 、 、1O2 依次外切，且 与 AC、BC 相切， 与 BC、AB 相切， 、n1OOn 1O、2 、 均与 AB 边相切，求 .3O1nnr图 图 图通过该题学生既学到了新知识，又复习了旧知识，还找到了新旧知识之间的联系。由此还可以将这种类型的问题与现实问题情境相结合，真正做到活学活用。变式 有一块直角三角形的白铁皮，其一条直角边和斜边长分别为 60cm 和100cm。
9、若从这块白铁皮上剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的面积有多大？从余下的白铁皮中再剪出一块尽可能大的圆铁皮，这块圆铁皮的半径是多少？O2O1BC A O3 ACBO1 O22.4 多题一解，异中求同由问题的条件或结论的外形结构，联想到与其形式类似的有关题型，从而获得转化桥梁，打开解题思路。【案例 4】 如图 1，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80cm，高 AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为 2：1，并且矩形长的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB、AC 上。求这个矩形零件的长与宽。BPS DERQCABPS DERQCA图 1 图 2 变式 1 如图 2
10、，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80cm，高 AD=60cm，要把它加工成矩形零件，使矩形的长、宽之比为 2：1，并且矩形长的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB、AC 上。 （1）求这个矩形的周长；（2）求这个矩形的面积；（3）求APQ 的面积。变式 2 如图 3，一块铁皮呈三角形，BAC= 90，要把它加工成矩形零件，使矩形一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边 AB、AC 上。试问：PS、BS、CR 之间有何关系？为什么？B CP QRSA1ACQREDSPB图 3 图 4变式 3 如图 4，一块铁皮呈锐角三角形，它的边 BC=80cm，高 AD=60cm，要把它加工成矩形
11、零件，矩形的一边位于 BC 上，另两个顶点分别在边AB、AC 上。求这个矩形面积的最大值。 三、变式教学要把握好三个“度 ”3.1 变式的数量要“适度”变式不是为了“变式”而变式，而是要根据教学或学习需要，遵循学生的认知规律而设计数学变式，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能技巧。因此，数学变式要正确把握变式的度，适度进行，适可而止。3.2 变式的内容与难度要有“梯度”变式习题的设置不仅要考虑到适当的量的安排，更要注重训练的梯度性，具有科学的循序渐进的训练程序，才能更有效地提高学生的学习效率。【案例 5】 如左图，由 4 个等腰直角三角形组成，其中第 1 个直角三角形的
12、腰长为 1cm，求第 4 个直角三角形的斜边长度。3( ) 4( )2( )1( )5()1()2() 3() 4()变式 1 如右图，已知条件不变，求第 5 个等腰直角三角形的斜边长，并探究第 n 个等腰直角三角形的斜边长为多少？变式 2 已知条件不变，求第 6 个等腰直角三角形直角边的长，并探究第 n 个等腰直角三角形的直角边长为多少？变式 3 已知条件不变，求第 6 个等腰直角三角形的面积，并探究第 n 个等腰直角三角形的面积为多少？3.3 变式教学要提高学生的“参与度”设计问题变式要注重一个“变”，不能简单的重复。变式题组的题目之间要有明显的差异，要使学生对每道题既感到熟悉，又觉得新鲜
13、，让每一个学生都能够参与到数学思考中来。【案例 6】 如图 1，在直线 与 x 轴、y 轴所围成的AOB 中，依次3604y放入腰长分别为 , , , 的 n 个等腰直角三角形，则1x23= ， = 。1xn（或：求 , , , 的横坐标。 ）1A23AXYA3A2A1OB3B2B1ABBAB1B2 B3O A1 A2A3YX图 1 图 2变式 1 如图 2，在直线 与 x 轴、y 轴所围成的AOB 中，依次放604y入边长分别为 , , , 的 n 个等边三角形，试猜想第 n 个等1x23边三角形的边长。变式 2 二次函数 的图象如图所示，点 位于坐标原点，点23yx0A, , , 在 y
14、轴上，点 , , ,， 在所给二次1A2208A1B23208B函数位于第一象限的图象上。若 , , ,，01A1223A 为等边三角形，则 的边长= 207820AB0780B。设计数学变式问题要内涵丰富，境界开阔，给学生留下足够的思维空间。因此，所选范例必须具有典型性。一要注意知识之间的横向联系；二要具有延伸性，可进行一题多变；三要注意思维的创造性和深刻性。四、数学变式教学的价值变式教学是中国基础教育中的精华，值得我们去传承；变式教学是一种十分重要的教学思想，值得我们去钻研；变式教学是经实践证明的有效教学模式，值得我们去实践。结束语在教学中，我们既要有强烈的变式意识，娴熟的变式方法，更要遵
15、循变式教学的规律，合理安排变式教学的内容。如果我们能够把握变式教学和变式训练的正确方法和尺度，在数学教学中恰当使用变式教学和变式训练，不仅能够帮助学生从“题海战役”中解放出来，还对培养学生创造性思维，激发学生学习数学的兴趣，将起到比较积极的作用。相信大家一定可以取得理想的教学效果。参考文献： 1 李善良 . 现代认知观下的数学概念学习与教学. 江苏教育出版社，2005.2 张奠宙 . 中国数学双基教学. 上海教育出版社， 2006.3 许灵飞 . 变式教学在初中数学教学中的应用. 数学学习与研究， 2010.34 郑毓信 . 变式理论的必要发展. 中学数学月刊, 2006(1).5 张奠宙 ,守乃庆 . 数学教育概论 . 北京:高等教育出版社 ,2004致谢感谢审稿人读完全文，并提出了许多宝贵的意见
