1、全等三角形之手拉手模型专题基本图形 1、图（1）中，C 点为线段 AB 上一点，ACM ，CBN 是等边三角形，AN与 BM 相等吗？说明理由；如图（ 2） C 点为线段 AB 上一点，等边三角形 ACM 和等边三角形 CBN 在AB 的异侧，此时 AN 与 BM 相等吗？说明理由；如图（3）C 点为线段 AB 外一点， ACM，CBN 是等边三角形， AN 与 BM相等吗？说明理由分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等解：（1）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN
2、=BC ，又ACN=MCN+60 MCB=MCN+60 ，ACN=MCB，ACNMCB，AN=BM（2 ）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC又ACN=MCB，ACNMCB，AN=BM（3 ）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC ，又ACN=MCN+60 MCB=MCN+60 ，ACN=MCB，ACNMCB，AN=BM点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键变形 2、 （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 A
3、C，BC 为边在 AB 的同侧作等边ACM 和CBN，连接 AN，BM 分别取 BM，AN 的中点 E，F ，连接CE，CF， EF观察并猜想CEF 的形状，并说明理由（2 ） 若将（ 1） 中的“ 以 AC， BC 为边作等边 ACM 和CBN ”改为“以AC，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰ACM 和CBN， ”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由点评：（ 1 ） 先求证ACNMCB ， 得出 AN=BM ， ANC=MBA ， 再证NFCBEC，得出 CE=CF， BCE= NCF，利用等边三角形的角度 60，得出ECF=60 ，证得
4、结论成立；（2 ）证明过程如上（1）中的结论只有 CE=CF，而ECF 只等于等腰三角形的顶角60，得出结论不成立解：（1）如图 1，CEF 是等边三角形，理由：等边ACM 和CBN，AC=MC，BC=NC ，ACN= MCB，在ACN 和 MCB 中NCBC ACN MCBACMCACNMCB（SAS） ，AN=MB， ANC=MBA，在NFC 和 BEC 中，NCBC FNC EBCNF BENFCBEC（SAS） ，EC=CF，BCE+ECN=60，BCE= NCF ，ECF=60，CEF 是等边三角形；（2 ）如图 2，不成立，首先ACNMCB，ACN 与 MCB 不全等如果有两个等腰
5、三角形的顶角相等，那么结论也不成立，证明方法与上面类似，只能得到 CE=CF，而ECF 只等于等腰三角形的顶角 60 点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点变形 3、如图，在ABC 中，已知 DBC=60，ACBC，又ABC、BCA、CAB 都是 ABC 形外的等边三角形，而点 D 在 AC 上，且 BC=DC（1 ）证明：CBD B DC；（2 ）证明：ACDDBA；证明：（1）CBD 与ABC 中，BC=DC，AB=BC ，CBD=60+ABD=ABC，C BD ABC，CD=AC又在BCA 与 DCB中，BC=DC，AC=B C，ACB= BCD=60，BCA DCBDB =BAC BD BDC（2 ）由（1 ）的结论知：C D=BC=AB，BD=BC=AC，又AD=AD，ACDDBA
