1、全等三角形之手拉手模型专题基本图形1、图（1）中，C 点为线段AB 上一点，ACM， CBN 是等边三角形，AN与BM 相等吗？说明理由；如图（ 2） C 点为线段AB 上一点，等 边三角形ACM 和等边三角形CBN 在AB 的异侧，此 时AN 与BM 相等 吗？说明理由；如图（3）C 点为线段AB 外一点，ACM， CBN 是等边三角形，AN 与BM相等吗？说明理由分析：题中三问均是对等边三角形性质的考查以及全等三角形的证明，由已知条件，利用等边三角形的性质可找出对应边及夹角相等，证明全等，即可得到线段相等解：（1）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC，又ACN
2、=MCN+60 MCB=MCN+60，ACN=MCB，ACNMCB， AN=BM（2 ）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC又ACN=MCB，ACNMCB，AN=BM（3 ）相等证明如下：ACM，CBN 是等边三角形，AC=CM，CN=BC，又ACN=MCN+60 MCB=MCN+60，ACN=MCB，ACNMCB，AN=BM点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用全等三角形的性质判定线段相等，证得三角形全等是正确解答本题的关键变形2、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC，BC 为边在AB 的同侧作等边
3、ACM 和CBN，连接 AN，BM分别取BM，AN 的中点E，F ，连接CE，CF， EF观察并猜想CEF 的形状，并说明理由（2 ） 若将（ 1） 中的“ 以AC， BC 为边作等边 ACM 和CBN”改为“以AC，BC 为腰在AB 的同侧作等腰ACM 和CBN，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗 ？若成立，加以证明；若不成立， 请说明理由点评：（ 1 ） 先求证ACNMCB ， 得出AN=BM ， ANC=MBA ， 再证NFCBEC，得出CE=CF，BCE=NCF，利用等边三角形的角度60，得出ECF=60，证得结论成立；（2 ） 证明过程如上（1）中的结论只有CE=CF
4、，而ECF 只等于等腰三角形的顶角60，得出结论不成立解：（1）如图1，CEF 是等边三角形，理由：等边 ACM 和CBN ，AC=MC，BC=NC， ACN=MCB，在ACN 和MCB 中NCBC ACN MCBACMCACNMCB（SAS ），AN=MB，ANC= MBA，在NFC 和BEC 中，NCBC FNC EBCNF BENFCBEC（SAS），EC=CF，BCE+ECN=60， BCE=NCF，ECF=60，CEF 是等边三角形；（2 ）如图2 ，不成立，首先ACN MCB，ACN 与MCB 不全等如果有两个等腰三角形的顶角相等，那么结论也不成立，证明方法与上面类似，只能得到CE
5、=CF，而ECF 只等于等腰三角形的顶角60点评：此题综合考查等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点变形3、如图，在ABC 中，已知 DBC=60，AC BC，又ABC、BCA、CAB都是 ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC=DC（1 ） 证明：CBD BDC；（2 ） 证明：ACDDBA；证明：（1）CBD 与ABC 中，BC=DC，AB=BC，CBD=60+ABD= ABC，CBDABC， CD=AC又在BCA 与DCB中，BC=DC，AC=BC，ACB=BCD=60，BCADCB DB=BACBDBDC（2 ）由（1 ）的结论知：CD=BC=AB，BD=BC=AC，又 AD=AD，ACDDBA
