1、第七章 习题解答1设（X，d）为一度量空间，令 ),(|),(),(|),( 0000 xdXxSxdXxU问 的闭包是否等于 ？ 解 不一定。例如离散空间（X ，d ） 。 = ，而 =X。 因此当 X 多于)1,(0xU)1,(0xS两点时， 的闭包不等于 。)1,(0xU),(0S2. 设 是区间 上无限次可微函数的全体，定义,baC,)(1)(max2),( )(0 tgtfgfdrrbtr 证明 按 成度量空间。,ba,f证明 （1）若 =0，则 =0，即 f=g),(gfd)(1)(ax)(tgtfrrbt（2） )()(m21),( )(0 ttff rrbtar)(1)()(1
2、)(x)()0 tgthtgtf rrrrbtar )(max2)()(2 )()(00 ttttf rrbtrrrbtar =d（f，g）+d （ g，h）因此 按 成度量空间。,C),(d3 设 B 是度量空间 X 中的闭集，证明必有一列开集 包含 B，而且 no21,。on1证明 令 是开集：设 ，则存在 ，使nonBxd.2,1),(nx0x1。设 则易验证 ，这就证明了 是 开集nxd),(1001 oU),(no显然 。若 则对每一个 n，有 使 ，因此onox1 Bxxd,1。因 B 是闭集，必有 ，所以 。)( xn n4. 设 d（x，y）为空间 X 上的距离，证明 ),(1
3、),(_yxdyx是 X 上的距离。证明 （1）若 则 ，必有 x=y0),(_yx0),(yxd（2）因 而 在 上是单增函数，于是zdt1),o),(),(),(),(1),(_ zydxzyxdyx= ),(),(),(),( zzyxd= 。),(1),(,_ydx5. 证明点列 按习题 2 中距离收敛与 的充要条件为 的各阶导数在nf ,baCfnfa，b上一致收敛于 f 的各阶导数。证明 若 按习题 2 中距离收敛与 ，即nf ,f0 )(1)(max),( )(0 tftffdrrnbtrn )( n因此对每个 r， 0 ，这样)(2)(0 tftfrrnbtar )(0 ，即
4、在 a，b 上一致收敛于btax)()(ftfrrn )(tfrn。)(r反之，若的 （t）各阶导数在 a，b上一致收敛于 f（t） ，则任意 ，存在 ，使nf o0r；存在 ，使当 时，max ，21or rNrn)()(tftfrrn00,21,取 N=max ，当 nN 时，N1 )(1max2),()()(0 tftffdrrnbtrn )()(max2)(0 tftfrrnbtr 1or .0即 0 。),(nfd( 6. 设 ，证明度量空间 中的集f|当 t B 时 f（t ）=0为 中的闭集，,baB,baC,baC而集 A=f|当 t B 时，|f（t）|a （a 0）为开集的
5、充要条件是 B 为闭集。证明 记 E=f|当 t B 时 f（t ）=0 。设 ， 按 中度量收敛于 f，即在Efnnf,a，b上 一致收敛于 f（t ） 。设 ，则 ，所以 f E，这就证)(fn Bt 0)(lim)(tt 明了 E 为闭集充分性。当 B 是闭集时，设 f A。因 f 在 B 上连续而 B 是有界闭集，必有 ，Bt0使 。设 。我们证明必有 。设)(max)(0tftft0)(0ta AfU),(，则若 ，必有 ，于是,Ug tgf，所以 ，这样就证明了 A 是开集atftgft )(|)(|)(| 0必要性。设 A 是开集，要证明 B 是闭集，只要证明对任意 若.2,1n
6、Bt 0tn，必有 。)( nt0倘若 ，则定义 。于是对任意 ， 因此Bt_0 |)(0tafotattfo|)(0由于 A 是开集，必有 ，当 Ca，b 且 时， 。定义，fo)( f ,0dAfn=1，2 。 。 。 。 。则 )(|),(00ntfdnn因此当 时， 。但是 ，此与 的必|0tnattatfn|00fn要条件：对 任意 ，有 矛盾 因此必有 。Btfn)(B7. 设 E 及 F 是度量空间中的两个集，如果 ，证明必有不相交开集 O 及 GoFEd),(分别包含 E 及 F。证明 设 。令 od),( 2),(|,2),(|xdGx则 且 ，事实上，若 ，则有 ，所以存,
7、GOOz在 E 中的点 x 使 ，F 中点 y 使 ，于是 ，2),(zd2),(zd ),(),(),(zydxyd此与 矛盾。),(y），（ 8. 设 Ba，b表示a，b上实有界函数全体，对 Ba，b中任意两元素 f，g Ba，b，规定距离为 。证明 Ba，b不是可分空间。|)(|sup),(tgfgfdbta证明 对任意 a，b，定义0t ),2),100 bttaot 则 Ba，b，且若 ， 。 倘若 Ba，b 是不可分的，则有可数)(0ft 21,(21tfd稠密子集 ，对任意 a，b， 必有某 ，即 。由于ng10t),0tUng21),(0tnfda，b上的点的全体是不可数集。这
8、样必有某 ， ，使 ，21t1tUg，于是 此与 矛盾，)2,(tfU),(),(),( 2121 tnntt fdgffd ),(21tf因此 Ba，b不是可分空间。9. 设 X 是可分距离空间， 为 X 的一个开覆盖，即 是一族开集，使得对每个 ，Xx有 中的开集 O，使得 ，证明必可从 中选出可数个集组成 X 的一个开覆盖。x证明 若 x，必有 ，使 ，因 是开集，必有某自然数 n，使xOx。xnU)1,(设 是 X 的可数稠密子集，于是在 中必有某 ，且1 )21,(nxU)21,(nxk。 。事实上，若 ，则xkO)2,( yk所以 。ndydkk21),(,( ),(xykxO这样
9、我们就证明了对任意 X，存在 k，n 使 且存在 21nUnk)21,(任取覆盖 的 O，记为 是 X 的可数覆盖。)21,(nxUkk,10. X 为距离空间，A 为 X 中子集，令 证明 是 X 上连续,.),(if)(xydxfAy)(xf函数。证明 若 对任意 ，存在 ，使,.0x00。取 。则当 时，2)()(inf),( xfydydAo 2),(0xd ),(, 0000 fyxdxf o因此 。由于 x 与 对称性，还可得 。于是)(0f (x。这就证明了 是 X 上连续函数。|)(|0xf )(f11. 设 X 为距离空间， 是 X 中不相交的闭集，证明存在开集 使得21,F
10、21,G。2121,FGG证明 若 ，则由于 ， 为闭集，必有 ，使 ，令xx0x2),(FxU，类似 ，其中 ，显然 是开)2,(1xFxU)2,(2yFxU1),(y21,G集，且 。 倘若 ，则必有 ，使2,G,1G,1Fx2y。设 。不妨设 ，则),()2,(xy)2,(),(xyzyx因此 ，此与xyxyx dd 2),(),(),( ),(xU矛盾。这就证明 了 。2,FUx 21G12 . 设 X，Y，Z 为三个度量空间，f 是 X 到 Y 中的连续映射，g 是 Y 到 Z 中的连续映射，证明复合映射 是 X 到 Z 中的连续映射。)()(.xfg证明 设 G 是 Z 中开集，因
11、 g 是 Y 到 Z 中的连续映射，所以 是 Y 中开集。又)(1Ggf 是 X 到 Y 中的连续映射，故 是 X 中 的开集。这样)(1Gf是 X 中 的开集，这就证明了 g。f 是 X 到 Z 的连续映射。)()(.11fg13. X 是度量空间，证明 f 是连续映射的充要条件是对每个实数 c，集合和集合 都是闭集。)(,|cxFx)(,|cxFx证明 设 f 是 X 上连续的实函数，又对每一实数 c，G=（c ， ）是开集，于是是开集。这样 = )(,|)(1Gf )(,|cxfX是闭集。同理 是闭集。 反之，若对每个实数,|cxfxC)(,|fxc， 和 都是闭集，则 和)(|X)(,
12、|cfXx)(,|cxfx都是开集。设 G 是直线上的开集，则 或,|cxfx 1,(iibaG，其中 是 G 的构成区间。不妨设 于是niibaG1),(),(iba1),(ii )(,|()(,|()(,|)( 11 ii ii i bxfXaxfXxfXxf 是开集。因此 f 是连续的实函数。14. 证明柯西点列是有界点列。证明 设 是 X 中的柯西点列。对 10，存在 N，使当 n，m 时，nx ，令 则对任意 有 。因此 .1),(md .1),(ax1NiidMxMdN),(nx是有界点列。15. 证明第一节中空间 S，B（A） ，以及离散的度量空间都是完备的度量空间。证明 （1）
13、S 是完备的度量空间设 是 S 中的柯西点列， 对每一个固定的 i，由于nx ),(.()(2)1 ninx，因此对任意 存在 ，当 时 ，对此)0(21tti ,0t0ti21，存在 n，m 时， ，因此N1)()(|2),(i minimnxd，从而 。这样对固定的 i， 是1)()(|2i ini |)()(inii21 1)(ni柯西点列。设 。令 ，故有 ，且对任意给)(ii ),(21 ixSx定 ，存在 ，使 。存在 使 时，o0102ii,0NiiNn。于是当 时， 0)(2|iini,max01in1)(|2i nii+ 01 )()(|ii miniiii 102ii .0
14、i所以 按 S 的距离收敛于 xnx（2）B（A）是完备的度量空间设 是 B（A）中的柯西点列，任意 ，存在 N，使当 n，m 时1n 0。这样对任意 ， 。因此对固定),(mxdAt|)(|sup|)(| txttxtAtmn的 t， 是柯西点列。设 ，由于 n，m 时tn )(x，令 ，得 ，这样 ，于是|)(|xm|)(|txn |)(|txtn|sup|sttn故 x （ A） ， 且 nN 时， 。这就证明了按 B（A）中距离收|)(|suptxtmnAt敛于 x。（3）离散的度量空间（X， d）是完备的度量空间设 是 X 中柯西点列，则对 0,存在 N，当 n，m 是 。特别对一1
15、n 2121),(mnxd切 nN, ,于是 nN 是 。因此 ，即（X，d）是),(NxdnxN完备的度量空间。16. 证明 与 C（0，1的一个子空间等距同构。l证明 若 ，定义 ，),(21 ixl 1,0(,),(tCtxT21,(;,),( iititTi或 线 性 ，若 ， ，则)21 ixl ) iyl因此 T 到 到（0，1的子空间,(|,(),|sup|sup),(1,0( yxdtTtxydti l的一个同构映射，即 到（0，1 的一个子空间等距同构。l17. 设 F 是 n 维欧几里得空间 的有界闭集，A 是 F 到自身中的映射，并且适合下列条件：nR对任何 ，有 。 证
16、明映射 A 在 F 中存在唯一的不动yx,)(),(),(yxd点。证明 定义 F 上的函数 f（ x）=d（Ax ，x） 。由于因此 f 是 F 上的连),(2),(),(|),(),(|)(| yxdyAydAyfx 续映射，因 F 是有界闭集，必有 ，使 。F0 min00fxfF我们先证明 ，若 ，则 。记 ，则 ，于是)(0xf)(xf 01A021x)(,(,)( 000211 xfAddAf 此与 是 f 的最小值矛盾。故 即 =0x)x若 是 A 的另一个不动点，则 ，矛盾。1 ),(),(,( 101010 xd18. 设 X 为完备度量空间， A 是 X 到 X 中的映射，
17、记 ),(sup1xAanzxn若 ，则映射 A 有唯一不动点。na1证明 因 ，则必有 N，使 。这样对任意 x, X,若 x ,则na1 1a11),(),(11xdxAdn这样由压缩映射原理 有不动点 ，即 = 。由于 =A =A , A 也N*N*NA*x*x*是 的不动点。 的不动点是唯一的，因此 = A ，即 是 A 的不动点。NAx若 x是 A 的任意一个不动点，即 A x= x。于是 x= x= A x= x。这样 x也是N1n的不动点，由于 N的不动点是唯一的，因此 = x。即 A 的不动点也是唯一的。*19. 设 A 为从完备度量空间 X 到 X 中映射，若在开球 内适合)
18、,(0rxU.1),(),(xdAxd又 A 在闭球 上连续，并且|),(00rrxS .)(),(0rAxd证明：A 在 中有不动点。证明 设 = ， 。则nx02,1 rxAdxAdxd nnnnn )1(),(),(),(),( 010211 任给 0，存在 N，使 ，这样若 且 ，有rmN,.)()()(),(),(),(), 121121 rrx Nnmnnnnmn 因此 是柯西列。设 ，因1x*rrrrddd ninnnnn )()()()(,(),(),(), 1101210 因此 。这样 。因为 A 在 上连续。00rxSrUx,lim0*xSxn ,0xS，即 是 A 在 中
19、的不动点。1*limliAnn )(rA 的不动点不一定是唯一的。例如 X 是离散的度量空间。 A 是 X 中的恒等映射。在开球内只有 一点，自然满足条件 。而)1,(0x0x .10),(),(xdxd，也满足 。但 X 中每一点皆为 A 的不动点。d .1),(0rAd20. 设 为一组实数，适合条件 ，其中 当 j=k 时nkja,21, 1)(21, njiijijajk为 1 ，否则为 0。证明：代数方程组 121212nnnaxaxb对任意一组固定的 ， ， ，必有唯一的解 ， ， 。b, 1x2nx证明 记定义 到 内的映射 T：TX= -AX+X+b 。设 X 则nRR),()
20、( )()()(,211, 211122 Xda axaTXdnjiijij nij jjjiijij jjiij 由于 1,于是 T 有唯一不动点 ，即 ，因此211, )(njiijij *X*XbAT有唯一解 *X。bA*21. 设 表示 上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的,aVb,运算。在 中定义范数 = ,证明 是 Banach 空间。,x)(xVab,ba证明 显然是线性空间。下证 是赋范线性空间。 1 若 ，显然 0。x,baVx若 =0，则 =0，即 =0，且 =0。由 =0 可知 在 上为常)(a)(a)(xVba)(xba,ba值函数，于是 xt2 若
21、 ，,bV),(xVaxaxb)(3 若 ，,y)()(xxba )()(yVxyba其中 的理由如下：对任意分划 yVbayV ,:10bttTn因此,)()()()( 1111 niiiniiini ii tytxtxtx)()(sup)(sup)()(sup)( 111111 yVxtytxtyxtyxV baniiiTniiiTni iiTba 再证 是完备的。,设 为 中柯西列，对任意 ，存在 ，当 时，nxb0Nmn,。于是， 。而对任意)()(mnbamnmxVx )(bxa，,(at)(mnbaVt从而 2)()(xxtmnmn这就证明了 是 上一致收敛的函数列。设 一致收敛于
22、 。,banxx由于 是 上右连续的函数，于是对任意 ， 因nx, ),0bat.2,1)(li00 ntntx为 在 上一致收敛于 。因此,x即 亦在 上右连续。)(lim)(li)(lim)(li 0000 ttttx nntnntxt ,ba对任意 ，存在 ，当 时， =N,x)()(mnbamnVx对 上的任一分划 ，有,battTl10: )()()()()(1 11 mnbamnli iminimin xVxatxttxt令 ，（*）li iiniin txttx1 11)()(因此，从而 由（*）式及分点的任意性知，.,baVn从而.)(xba .2)()(xVaxxnbnn即 按 中范数收敛于 。这样我们就证明了 是完备的赋范线性空nx,V,间，即 空间。Bch22设 是一列 空间，,21Xan,21 nxx是一列元素，其中 ， 并且 这种元素列的全体记成 ，nx,21,1pn X
